早稲田大学 基幹理工学研究科 数学応用数理専攻 専門科目 2024年度 院試 過去問 解答例・解説（全12問）

流れ写像の標準計算

常微分方程式の解を初期値で微分すると、変分方程式が現れる。行列式の微分公式 $\frac{d}{dt}\det Y=\operatorname{tr}(Y'Y^{-1})\det Y$ を使うと、発散だけが体積変化率として残る。

保測性の意味

$J(t)=1$ は局所的に面積倍率が $1$ であることを表す。これを領域全体に積分したものが面積保存であり、流体力学では非圧縮性の数学的表現である。

射影行列の確認点

正射影であることは、$P^2=P$ や $P^T=P$ を示すだけでも足りるが、定義に沿って $W$ 上で恒等、$W^\perp$ 上で零となることを直接確認すると採点上明快である。

対角化と射影の関係

対角化は基底を固有ベクトルに取り替える操作で、射影 $P_i$ はそのうち固有値 $\lambda_i$ の成分だけを取り出す操作である。最後の式 $A=\sum\lambda_iP_i$ が、この問題の全体像である。

縮小写像の型

コーシー性は隣接項の距離を等比級数で押さえるのが定石である。完備性は極限点の存在にだけ使われる。

多項式の固有性

最高次項が無限遠で支配することを示せば、コンパクト集合の逆像が無限遠へ逃げない。閉性は連続性から自動的に従う。

偶奇で分ける発想

$k[s^2,st,t^2]$ の唯一の関係は $(st)^2=s^2t^2$ である。剰余を $r_0+yr_1$ まで落とすと、代入後の単項式の偶奇が分かれ、核に残れないことが分かる。

クンマー理論の基本形

根の比がすべて $K$ 内の $n$ 乗根になるため、自己同型群は $\alpha$ に掛ける根の選び方で記述できる。逆向きはヒルベルト90を使って、自己同型で固有値 $\zeta$ を持つ元を作るのが核心である。

近似単位とフーリエ反転

$\mathcal F[W_k]$ は質量 $2\pi$ をもつガウス核で、$k\to\infty$ により原点へ集中する。一方、直接に近似単位として扱うより、畳み込みをフーリエ側の積に変換して $W_k(z)\to1$ を使うと、反転公式の形が自然に現れる。符号は変数変換 $\eta=-z$ で確認すると間違えにくい。

積分因子

一次線形方程式は左辺を一つの微分にまとめるのが最短である。極限問題では、定数係数の平衡解を先に見つけ、差を取って減衰を示すと見通しがよい。

円周のホモロジー

円周は連結成分を一つ持ち、独立な一次元の穴を一つ持つ。長完全列はこの直感を、区間の可縮性から厳密に取り出す道具である。

フレーム多様体

互いに直交する2本の単位ベクトルを選ぶと、外積で3本目が一意に決まる。したがって問題の空間は回転行列全体と同じである。

特性関数の読み方

指数の一次項が平均、二次項が共分散である。条件付き正規分布の問題は、まず条件付き特性関数を書き、その後で条件を外して期待値を取ると計算が整理される。

隣接行列

無向性は対称性、ループなしは対角成分 $0$ に対応する。正則グラフでは全成分 $1$ のベクトルが最も自然な固有ベクトルである。

交叉と和集合の違い

条件をすべて同時に満たす集合を集める交叉は閉性を保つ。一方、和集合は「どれか一つの族に入る」だけなので、可算和を取った結果が同じ族に残る保証がない。