早稲田大学 基幹理工学研究科 数学応用数理専攻 専門科目 2023年度 院試 過去問 解答例・解説（全12問）

広義積分の答案

収束判定では、どの既知積分と比較しているかを明確に書く。振動積分は絶対収束しなくても条件収束することがあるため、絶対値評価だけで終わらせないことが大切である。

行基本変形の使い分け

核は行基本変形後の方程式から読むが、像の基底は変形後の列ではなく、元の行列の主列を取る。ここを取り違えると像の基底が別空間のベクトルになってしまう。

基礎数理の狙い

抽象的な主張は、まず標準定理に帰着する。反例問題では、条件を満たしながら結論だけを壊す自由度を探すのが有効である。

固定点を数える

Burnside の補題は公式を覚えるだけでなく、集合 $A=\{(x,g)\mid gx=x\}$ の二重数え上げとして書けると答案が安定する。立方体では回転の種類ごとに面のサイクル分解を数える。固定される塗り方は「同じサイクル上の面は同色」という条件なので、サイクル数がそのまま $2$ の指数になる。

被約と直積分解

非自明ベキ等元は環を直積に分解する情報であり、零因子より強い条件である。$\mathbb Z/n\mathbb Z$ では平方因子がないと中国剰余定理で直積に分かれるためベキ等元が現れる。一方、$k[x,y]/(xy)$ は二つの成分が一点で接しているため零因子はあるが、全体を直積に切り離すベキ等元は存在しない。

ガンマ関数の延長

正則性は「コンパクト集合上で可積分な優関数を作る」ことが中心である。関数等式 $\Gamma(z+1)=z\Gamma(z)$ は単なる計算ではなく、右半平面から左へ定義域を広げるための道具になる。負の整数と $0$ が除かれるのは、延長公式の分母に $z,z+1,\ldots$ が現れるからである。

リーマン・ルベーグの補題

まず区間の指示関数で直接計算し、単関数近似で一般の $L^1$ 関数へ拡張する。これはフーリエ変換の基本的な証明手順である。

角度形式

$\omega$ は極座標の $d\theta$ に対応する。局所的にはポテンシャルを持つが、円周を一周すると角度が $2\pi$ 増えるため、大域的には完全形式にならない。

球面上の計算

ユークリッド空間で計算したベクトルを球面の接空間に直交射影するのが基本である。周期軌道を持つベクトル場では、微分方程式 $wf=g$ に積分条件が現れる。

二標本推定

$P(X<Y)$ は二標本の全組合せで比較するのが自然である。独立同分布標本の平均なので不偏性は一行で示せるが、一致性は $U$ 統計量または条件付き分散評価に言及すると答案として安定する。

母関数の威力

微分方程式、漸化式、微分公式はいずれも母関数を微分して係数比較するだけで得られる。直交性はロドリゲス公式とガウス積分が最短である。

二元体での内積

$1^2=1$ なので自己内積は重さの偶奇そのものになる。自己双対性は「直交している」だけでなく「次元が半分」であることまで確認して示す。