早稲田 基幹理工 数学応用数理の院試過去問｜必須3題と選択1題

早稲田大学大学院基幹理工学研究科の数学応用数理専攻は、修士課程の一般入試で専門科目の筆記と口述試験を課します。筆記は、微分積分、線形代数、基礎数理の3題が必須で、代数・解析・幾何・確率統計・応用数理の9題から1題を選びます。 この記事では、2022〜2026年度の5回・60題の構成と、2024〜2026年度の出題を、院試Hubの解答原稿をもとに分析します。年度は入学年度の表記で、2026年度は2025年に実施された試験です。

問題は早稲田大学の過去問一覧で公開されています。大学による小問ごとの解答は公開されておらず、2026年度は出題の意図と解答のポイント（評価の観点）が公開されています。院試Hubでは各年度の問題1（微分積分）の解答を年度別ページで無料公開しています。対象は無料解答と解答PDFの使い方にまとめました。

必須3題と、9題から選ぶ1題

2025・2026年度の問題表紙では、問題1・2・3が必須問題です。問題3には3Aと3Bがあり、必ず一方を選んで解答します。問題4〜12は選択問題で、1題を選びます。2026年9月・2027年4月入学の問題一覧でも、微分積分・線形代数・基礎数理の3題必答と専門科目から1題の選択、試験時間180分とされています。

2026年度の表紙では、問題用紙は表紙を除いて13ページ、解答用紙は4枚綴りが1組で、解答用紙の裏面は使えませんでした。解答用紙は問題ごとに分かれ、問題3の用紙では3Aと3Bのどちらを解答したかを丸で囲み、選択問題の用紙には選んだ問題の番号と科目名を書きます。問題用紙は持ち帰り、面接試験の際に持参するよう指示されています。2025年度の表紙にも、同じ持参の指示があります。

日程・英語・口述試験

2026年9月・2027年4月入学の一般入試要項では、出願書類が2026年5月25日〜6月4日必着、筆記が7月11日、面接が7月12日、合格発表が7月24日でした。いずれも実施済みで、次の募集は理工学術院の修士課程入試のページで確認します（10月28日時点で2027年9月・2028年4月入学の要項は未掲載）。

英語は試験日に筆記がなく、出願資格として外部試験の最低点を満たす必要があります。TOEIC L&Rなら550点以上、TOEFL iBTなら旧尺度57点以上か新尺度3.5以上、IELTS Academicなら5.5以上で、出願開始日の2年前以降の成績が有効です。TOEICのIP、TOEFLのHome EditionとMyBest、IELTS Onlineは使えません。口述試験は、各部門の専門分野に関する内容です。英語の提出方法と出願前の教員への連絡は早稲田理工の英語条件と外部受験の準備にまとめています。

2022〜2026年度の構成と出題

5回とも12題で、番号と分野の並びはほぼ同じです。2023〜2026年度は、問題4・5が代数、6・7が解析、8・9が幾何、10が確率統計、11・12が応用数理でした。2022年度は10〜12が応用数理基礎、確率統計、数値解析の並びです。問題3は、2023年度以降の解答原稿で3Aと3Bに分かれています。

下の表は、2024〜2026年度の12題を院試Hubの解答原稿から短くまとめたものです。2022・2023年度は、問題の構成だけを上に示しました。

必須3題：収束の証明と、固有値の扱い

問題1の微分積分は、2025・2026年度とも広義積分の収束を証明させる設問を含みました。2025年度は第二平均値定理を自分で組み立て、それを使ってsin x/x型の積分が作る数列のCauchy性を示します。2026年度は、振動する被積分関数の広義積分が収束することを、前の小問で求めた導関数を使って示します。2024年度は、常微分方程式の解の初期値に関するヤコビアンが、ベクトル場の発散で時間変化することを示す設問でした。

問題2の線形代数は、3回とも固有値と固有空間から行列の形を決める設問です。2024年度はスペクトル分解、2025年度は実対称な平方根の全体、2026年度はジョルダン標準形まで進みます。問題3の基礎数理は、3Aが距離空間や写像の基本的な性質、3Bが一様連続性や複素積分を扱う回が続いています。どちらか一方を選ぶので、自分が得意な側を決めておけますが、選んだ側は定義からの証明を書き切る必要があります。

選択9題：分野ごとに繰り返す主題

幾何は、ホモロジー（2024年度の問題8、2026年度の問題9）と、ベクトル場・微分形式（2025・2026年度の問題8）が繰り返し出ています。解析は、フーリエ変換や近似単位（2024年度の問題6、2025年度の問題7）、関数列の収束（2026年度の問題6）が多く、代数は、多項式環の準同型の核、環の正規性、体の拡大と自己同型が続いています。応用数理は、行列の摂動とノルム評価（2025・2026年度の問題11）と、数え上げや確率（2025・2026年度の問題12）です。

解き始めの一手と、失点しやすい設問

以下は、院試Hubの解答原稿が要点や注意として取り上げた箇所です。完全な解答は年度別ページと解答PDFにあり、ここでは最初の一手と、答えがずれる原因を示します。

2026年度 問題1：絶対値で評価すると失敗する積分

2026年度の問題1（無料公開）の(3)は、被積分関数の絶対値を評価しても収束を示せません。(2)で求めた導関数を使い、振動する部分を全微分の項と、絶対収束する項に分けるのが解き始めの一手です。前の小問が後の小問の道具になっている構成なので、(2)の計算を確実に済ませてから(3)に進みます。

2025年度 問題1：部分積分で重みを作る

2025年度の問題1（無料公開）は、第二平均値定理を段階的に組み立てる問題です。被積分関数の原始関数を使って部分積分すると、単調な関数の導関数が重みとして現れ、最大値と最小値で挟む評価に変わります。最後の小問では、尾部の積分をsin xの積分に押し込むと、数列の差を1/nの定数倍で抑えられます。

2024年度 問題1：行列式の微分公式から発散が出る

2024年度の問題1（無料公開）では、解を初期値で微分して変分方程式を作り、行列式の微分公式を使います。ヤコビアンをJとすると、次の関係が出発点になります。

発散が0ならJは1のままで、流れは面積を保ちます。局所的な面積の倍率が1であることを、領域全体の面積の保存に結びつけて説明できるかが問われます。

線形代数：重複する固有値で解が増える

2025年度の問題2で行列の平方根を求めるとき、固有値1が重複しているため、対角成分に符号を付けるだけでは解が尽くせません。重複する固有空間の上では、実対称で2乗すると単位行列になる行列を自由に選べます。2026年度の問題2は、上三角Toeplitz型の行列をシフト行列の多項式として扱うと、対角化の条件とジョルダン型を短く分類できます。

基礎数理：小円弧の寄与と、反例の作り方

2026年度の3Bは、原点を避ける小さな円弧の寄与が、留数の寄与の半分として現れる点が要です。1周分の値をそのまま使うと2倍ずれます。2025年度の3Bは、連続で可積分な関数が無限遠で0に収束するかを問います。連続性だけなら、幅の細い山を無限に並べて反例を作れます。一様連続性があると山の幅に下限が生まれ、積分が有限であることと矛盾します。

選択問題：仮定の確認と、評価する基底

2025年度の問題9の被覆写像では、示す主張に連結な被覆という仮定が必要で、余分な連結成分を付けた被覆では同じ主張が成り立ちません。2026年度の問題11は、もとの行列の対角成分にそのままゲルシュゴリンの定理を使っても、円板の中心が求める値になりません。先に固有ベクトルで対角化し、その基底で摂動を評価します。2026年度の問題12の空き箱の数の分散では、2つの箱が同時に空になる確率を使います。各箱が空になる事象は独立ではありません。

180分の配分例

4題を180分で解くので、1題あたり約45分です。演習では、必須の3題に40分ずつ、選択の1題に45分、見直しに15分を当てる方法から試せます。これは大学が示した時間ではありません。2026年度のように解答用紙の裏面が使えない場合は、途中式を表面に収める書き方も練習しておきます。

分野別の練習と参考書

2024〜2026年度の出題から、区分ごとに練習する内容を整理しました。選択問題は1題だけ解けばよいので、得意な分野を2つ決め、それぞれで3回分の問題を解いておくと、当日の問題の難易に合わせて選べます。

選択問題の決め方

選択問題は、当日に9題を読んでから1題を決めます。準備では得意な分野を2つ決めて3回分を解き、残りの分野は問題文を読んで最初の小問に手が届くかだけを確かめておくと、当日の判断が速くなります。 例えば2025年度の問題12は頂点と辺の数を次数の和から数える小問から、2026年度の問題12は1つの箱が空になる確率を求める小問から始まり、数え上げと確率の基本で最初の小問に取りかかれます。

参考書は、過去問で止まった論点の確認に使います。例えば、微分積分は杉浦光夫『解析入門I』（東京大学出版会）、線形代数は齋藤正彦『線型代数入門』（東京大学出版会）、環と体は雪江明彦『代数学2 環と体とガロア理論』（日本評論社）、ルベーグ積分は伊藤清三『ルベーグ積分入門』（裳華房）、多様体と微分形式は松本幸夫『多様体の基礎』（東京大学出版会）の該当章で確かめられます。 複素積分と留数の扱いは院試の複素関数論、固有値と対角化は線形代数の院試対策にもまとめています。

無料解答と解答PDFの使い方

各年度の問題1（微分積分）の解答は、年度別ページで無料で読めます。自分で解いた後に、最後の答えだけでなく、どの定理の仮定をどこで確かめたかを照合してください。

• 2026年度 問題1：広義積分の絶対収束と振動する積分の収束
• 2025年度 問題1：第二平均値定理とCauchy列
• 2024年度 問題1：流れ写像のヤコビアンと保測性
• 2023年度 問題1：広義積分とパラメータ積分の判定（方針のみ）
• 2022年度 問題1：対数因子を含む級数の収束範囲

問題2〜12の解答は、年度別ページでは公開していません。販売している解答・解説PDFは、2022〜2026年度の5回分・60題を収録し、価格は2,880円です。問題本文と大学の資料は収録していないので、公式の問題と並べて使います。

2022・2023年度の解説は短めで、2022年度の問題2と2023年度の問題1〜3は、具体的な計算を示さず、使う定理と解き方の方針をまとめた形です。2024〜2026年度は各題で証明や計算の過程を示しています。購入前に、年度別ページの無料解答と商品ページの見本で分量を確かめてください。

公式の過去問一覧に10月28日時点で載っているのは2024〜2027年度です。大学は原則として過去3年分を公開すると案内しており、2022・2023年度の問題はこの一覧から開けません。2027年度の問題は公式一覧で公開されていますが、解説PDFには入っていません。2026年度の出題の意図と解答のポイントは評価の観点を説明した資料で、答え合わせには使えません。

同じ研究科の情報理工・情報通信専攻のガイドと機械科学・航空宇宙専攻のガイド、研究科の科目一覧もあわせて確認できます。