院試の複素関数論定理の条件と等角写像

複素関数論の答案で確かめることは三つあります。関数がどの領域で正則か。積分経路がどこを囲むか。写像がどの領域をどこへ移すか。

留数の値や変換式が合っていても、使う領域や向きが違えば、別の問題を解いたことになります。範囲は志望先の募集要項と過去問で確かめ、自分の計算が以下の条件を満たしているかを見てください。

学部で身につけておく基礎

• 実解析：極限の定義と一様収束、積分と極限を交換できる条件。ここがあいまいだと、級数を項別に積分する根拠が書けません。
• 複素数の幾何：共役、絶対値、偏角、直線と円。
• 極形式と指数関数：積が回転になること、複素対数の多価性。
• 曲線積分：パラメータ表示と進む向き。積分の絶対値を経路長で抑える評価も使います。
• 多変数微分：全微分と偏微分の違い。コーシー＝リーマン方程式が調和関数とどうつながるか。
• 級数：収束半径と項別微分・項別積分。テイラー展開とローラン展開の違い。

復習は止まった箇所に合わせます。曲線積分の設定で止まるならパラメータ表示、展開で止まるなら収束領域。対数の値がそろわないなら、偏角と枝の指定を見直してください。

論点別に確認する定理の条件

正則性とコーシー＝リーマン方程式

f(z)=u(x,y)+iv(x,y)が開集合Dの各点で複素微分可能なとき、fはD上で正則といいます。一点で複素微分可能かどうかと、その点の近傍で正則かどうかは別の問いです。

fが一点で複素微分可能なら、その点でこの方程式が成り立ちます。逆向きに使うには、uとvがその点で実変数として全微分可能であることが要ります。偏微分が存在して方程式を満たす、というだけでは足りません。

領域全体で判定するなら、uとvが開集合D上でC¹級で、全点で方程式を満たせば十分です。実平面全体でC¹級である必要はなく、調べる領域を指定すれば済みます。条件と証明はDmitri Zaitsevの講義ノート10.5〜10.6節を参照してください。

調和共役vを作るときは、片方の方程式を積分し、残りの変数の関数を積分定数として残します。u=x²−y²なら、v_y=2xを積分してv=2xy+g(x)と置き、v_x=2yからg′(x)=0を確かめます。

一般の調和関数に、領域全体で1価の調和共役があるとは限りません。単連結領域上なら存在します。単連結性を仮定しないなら、積分経路によらず定まるかを別に調べることになります。

コーシーの積分定理と積分公式

単連結な領域D上でfが正則なら、D内の区分的に滑らかな閉曲線に沿う積分は0です。この形の定理にとって、単連結性は十分条件です。

経路が特異点を避けていても、内部に特異点があれば「内部まで正則」という前提は崩れます。積分定理を使う領域と特異点の位置は、図に描き込んでおきましょう。

導関数の値はコーシーの積分公式で求めます。γを反時計回りに1周する区分的に滑らかな単純閉曲線とし、fがγとその内部を含む開集合で正則、aが内部の点なら、整数n≥0について次が成り立ちます。

分母の指数はn+1、係数はn!。経路を逆向きにすれば積分の符号も変わります。コーシー＝グルサの積分定理とは別の式として使い分けます。式と導出はMITのCauchy積分公式の講義資料4.3節を参照してください。

モレラの定理は、開集合D上でfが連続であることを仮定します。内部と境界を含めてDに入るすべての三角形Tで境界積分が0なら、fはD上で正則です。一つの経路で0になるだけでは足りません。連続性と閉三角形の条件は、Zaitsevの講義ノート16.5節にも明記されています。

ローラン展開と留数

ローラン展開を求めるときは、中心と、関数が正則な環状領域r<|z−a|<Rを指定します。関数も中心も同じなのに、環状領域が違えば展開は別物です。

孤立特異点の分類には、その点を除いた十分小さい円板での展開を使います。負のべきの項がないか、有限個か、無限個かを見ます。

留数は(z−a)⁻¹の係数です。極の公式を使う前に、分子と分母の零点の相殺も含めて極の位数を確かめます。f(z)=1/(z²(z−1))はz=0で2位の極なので、単純極の公式lim zf(z)は使えません。この場合は、z²f(z)を1回微分してz=0で評価すれば求まります。

留数定理を使う条件はこうです。区分的に滑らかな単純閉曲線とその内部を含む開集合で、関数が内部の有限個の孤立特異点を除いて正則であること。経路上に特異点がなく反時計回りに1周するなら、内部の留数の和に2πiを掛けます。

実軸上に特異点がある実積分では、通常の広義積分と主値を区別してください。小円で避ける場合は、その小円の寄与も含めます。

e^iaz/(z²+1)のような積分では、実数a>0なら上半平面、a<0なら下半平面で指数関数の絶対値が1以下です。半径R>1の半円弧では、経路長と被積分関数の上界から積分の絶対値をπR/(R²−1)以下に抑えられ、R→∞で0になります。

被積分関数が変われば、同じ評価が通るとは限りません。減衰を毎回確かめます。下半平面で閉じるときは、実軸を左から右へ進むと閉曲線が時計回りになることにも注意が要ります。

等角写像：単位円板と上半平面

1次分数変換 w = (az+b)/(cz+d) では、まず ad−bc ≠ 0 を確認します。3点の対応から式を決めただけでは、指定された領域へ写すことまでは確かめていません。境界の対応だけでなく、内部の点がどちら側へ移るかと、逆写像を調べます。

単位円板 |z| < 1 から上半平面 Im w > 0 への写像の一例は、次の式です。

分子と分母に 1−z の複素共役を掛けると、虚部を次のように計算できます。

逆に Im w > 0 なら |w−i| < |w+i| なので、逆写像の値は単位円板の中に入ります。両方向の式は互いに逆で、分母はそれぞれの領域で0になりません。導関数 2i/(1−z)² も円板内で0にならないので、正則で全単射な等角写像です。

円板内の z = 0 は w = i へ移ります。境界点−1は0へ、境界点1は拡張複素平面の∞へ。i を掛けない (1+z)/(1−z) は右半平面への写像なので、上半平面と取り違えないでください。この写像と逆写像はMITの等角写像の講義資料（例10.14・10.25）にも載っています。

シュワルツ＝クリストッフェル変換の問題では、頂点の対応と、角度の記号が内角そのものかπで割った値かを確かめます。

リーマンの写像定理が述べるのは、空でない単連結な領域Dが複素平面全体でなければ、Dと単位円板の間に双正則写像が存在することです。境界まで連続に延長できるかどうかは、領域の境界について別の条件が要ります。

対数の枝と一致の定理

複素対数では、各点に主値を割り当てる約束と、開領域上で正則な枝を選ぶこととを分けて考えます。偏角の主値を−π<Arg z≤πと定めれば負の実軸上にも値は割り当てられますが、その軸をまたぐと不連続です。

正則な主枝Log zを使うときの標準的な領域は、負の実軸と0を除いたD=ℂ∖(−∞,0]。この領域では−π<Arg z<πで、Log z=ln|z|+i Arg zは正則、導関数は1/zです。定義域の違いはZaitsevの講義ノート8.5・10.8節でも説明されています。

z^αや√(z²−1)を使うときも、分岐点と除く集合、指定された点での値を確かめます。切断を変えるなら問題の領域や経路に合うかを調べ、途中で別の枝の値が混ざらないようにしてください。

一致の定理の条件は、fとgが共通の連結な開領域Dで正則で、f=gとなる点の集合がD内に集積点を持つことです。このときD全体でf=gになります。集積点が境界上にしかないなら、この定理からは一致を結論できません。条件はJiří Lebl『Tasty Bits of Several Complex Variables』付録Bの一致定理で確認できます。

複素解析を含む過去問の解答PDF

科学大（旧東工大）理学院数学の2020〜2025年度には、正則関数やコーシーの積分公式、留数などの問題が入っています。神戸大理学研究科数学の2021〜2026年度では、数学IIの問題Eが留数と実積分、分枝の問題です。

どちらも科目全体の解答PDFなので、複素解析以外の問題も含みます。収録年度と紙面見本は各商品ページで確認してください。