都立大 理学研究科 物理学専攻 物理 2019年度 冬季 院試 過去問 解答例・解説（全5問）

方針

4次の行列式を機械的に展開すると符号を落としやすい。第2行・第2列と第4行・第4列が他の成分と結合していないことに気づけば、$2\times2$ の小行列と2個の対角成分に分かれ、展開はほとんど不要になる。行と列の両方が孤立していることを確認してから分解するのがポイントである。

検算

固有値の和はトレースに、積は行列式に一致するはずである。実際 $-2+1+2+3=4$ は対角成分の和 $0+1+0+3=4$ と一致し、 $(-2)\cdot1\cdot2\cdot3=-12$ は上の因数分解に $\lambda=0$ を代入した $1\cdot3\cdot(-4)=-12$ と一致する。

失点しやすい点

「対角成分が固有値である」と早合点しないこと。この行列は上三角でも下三角でもないので、$\vec{e}_1,\vec{e}_3$ の張る2次元部分では対角成分 $0,0$ ではなく $\pm2$ が固有値になる。固有値をすべて求めよという指示なので、重複度を込めて4個そろっていることを最後に述べておくとよい。

別解（公式による確認）

最後の量は展開公式 $$\vec{\nabla}\times(\vec{c}\times\vec{v}) =\vec{c}\,(\vec{\nabla}\cdot\vec{v})-(\vec{c}\cdot\vec{\nabla})\vec{v}$$ （$\vec{c}$ が定ベクトルなので $\vec{\nabla}\cdot\vec{c}=0$、$(\vec{v}\cdot\vec{\nabla})\vec{c}=\vec{0}$）からも出る。 $\vec{\nabla}\cdot\vec{v}=3$ より第1項は $3(0,-1,1)=(0,-3,3)$、 $(\vec{c}\cdot\vec{\nabla})\vec{v}=-\partial_2\vec{v}+\partial_3\vec{v}=-(-1,1,0)+(0,-1,1)=(1,-2,1)$ なので、差は $(-1,-1,2)$ となり成分計算と一致する。

検算

$\Delta f=1/r^2$ は次元でも確かめられる。$f$ は無次元、$\Delta$ は長さの $-2$ 乗の次元をもつので、結果が $1/r^2$ の形になるのは妥当である。また $\vec{\nabla}\times\vec{v}$ が定ベクトルになるのは $\vec{v}$ が座標の1次式だからで、回転が座標に依存しないことは即座に見当がつく。

失点しやすい点

2-1) では「$\vec{r}$ と $r=|\vec{r}|$ のみで表せ」と条件が付いている。$x_i/r^2$ のまま成分で答えを止めず、$\vec{r}/r^2$ にまとめること。また3次元では $\Delta\log r=1/r^2$ だが、2次元では原点を除いて $\Delta\log r=0$ である。次元によって結果が変わるので、$\sum_i x_i^2=r^2$ の和を3項で取ったことを答案に書いておくと安全である。

この設問が試していること

勾配・発散・回転を成分で正確に扱えるかに加え、$\vec{c}\times\vec{v}$ が $(x_1-x_2)(1,1,1)$ というきれいな形にまとまることに気づけるかを見ている。まとめてから微分すれば、3成分の回転を個別に計算する手間が消える。

方針

展開式の係数を取り出す操作は、直交性を掛け算と積分で使うだけである。定数項は「$\cos$ 系と直交する成分」として別扱いになり、規格化因子が $c_n$ と異なる点にだけ注意すればよい。3-1) の結果が $\delta_{nm}$、つまり規格化まで込みで $1$ になっているので、3-2) では余分な $1/\text{（規格化）}$ が付かない。

検算

得られた級数に $x=1$ を代入すると $\cos(n\pi)=(-1)^n$ なので $$\frac{1}{3}+\frac{4}{\pi^2}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2} =\frac{1}{3}+\frac{4}{\pi^2}\cdot\frac{\pi^2}{6}=1$$ となり左辺の $x^2=1$ と一致する。$x=0$ では $\frac{1}{3}+\frac{4}{\pi^2}\sum_n\frac{(-1)^n}{n^2} =\frac{1}{3}-\frac{4}{\pi^2}\cdot\frac{\pi^2}{12}=0$ となり、これも正しい。バーゼル問題と交代級数の値を覚えていれば、その場で2点確かめられる。

失点しやすい点

区間幅が $2$ であることを忘れて $c_0=\frac{1}{2}\int_{-1}^{1}x^2dx$ を $\int_{-1}^{1}x^2dx$ と取り違えると、定数項だけが2倍ずれる。また $x^2$ は偶関数なので $\sin$ の項は最初から現れない。問題の展開式が余弦だけで書かれている理由を一言添えると、答案の見通しがよくなる。

方針

球対称の重力は、ガウスの法則（重力版）で一気に片づく。半径 $r$ の球面で $\oint\vec{g}\cdot d\vec{S}=-4\pi G M_{\mathrm{enc}}$ を使えば、外側では $M_{\mathrm{enc}}=M$、内側では $M_{\mathrm{enc}}=Mr^3/R^3$ を代入するだけで1-1)と1-2)が同時に出る。答案では球殻定理を根拠として明示すれば十分である。

接続条件の確認

$z=R$ で内外の式を比べると、値は $-GM/R$ で一致し、傾きも外側 $GM/z^2\to GM/R^2$、内側 $GMz/R^3\to GM/R^2$ で一致する。ポテンシャルの傾きが力に対応するので、力が $z=R$ で連続であること（表面で力が飛ばないこと）と同じ内容である。連続性を2つとも確認してからグラフを描くと、内部の放物線が外部の曲線に滑らかにつながる図になる。

図で示すべき点

指示されているのは $z=0,\pm R,\pm4R$ の値が読み取れることである。したがって、その5点に目盛りを入れ、内部が放物線、外部が $-1/|z|$ の双曲線型であることが分かるように描く。最小値が中心 $z=0$ にあり、そこが表面の $1.5$ 倍の深さになっている点は必ず示す。

検算

単振動として直接解いても同じ結果になる。$z(t)=R\cos\omega t$ より $\dot{z}=-R\omega\sin\omega t$、中心通過は $\omega t=\pi/2$ だから速さは $R\omega=R\sqrt{GM/R^3}=\sqrt{GM/R}$ で1-4)と一致する。エネルギー保存で得た値と一致することを確かめておくと安心である。

物理的な意味

角振動数 $\omega=\sqrt{GM/R^3}$ は、球の表面すれすれを回る円軌道の角速度 $v_0/R$ と同じである（1-6)を見よ）。穴を落ちる直線運動は、表面円軌道を直径に射影した運動にほかならない。地球の場合、この周期は約84分で、低軌道衛星の周期と一致する。

失点しやすい点

「最初に点Pに戻るまで」を半周期 $\pi/\omega$ と答える誤りが多い。半周期で到達するのは反対側の点Qであって、点Pではない。往復して初めて元に戻るので、答えは1周期である。また、初速度が $0$ でちょうど表面から出発する設定なので、球外の $1/z^2$ の重力を使う場面がないことも押さえておく。

方針

射出点が長軸の端であることに気づけば、角運動量を使わずにエネルギーだけで長半径が決まり、そこから遠地点距離も周期も出る。一般の射出角なら離心率の計算が必要だが、垂直射出という条件がその手間を消している。答案では「$z$ 軸に垂直＝動径に垂直＝軌道の頂点」であることを明記する。

別解（角運動量を使う）

遠地点でも速度は動径に垂直なので、角運動量保存 $mRbv_0=mr_{\max}v_{\max}$ とエネルギー保存 $\tfrac12 v_{\max}^2-GM/r_{\max}=\tfrac12 b^2v_0^2-GM/R$ を連立してもよい。$v_{\max}=Rbv_0/r_{\max}$ を代入すると $r_{\max}$ の2次方程式になり、解の一方が $r=R$（射出点）、他方が $r_{\max}=b^2R/(2-b^2)$ である。2解のうち近地点を捨てる理由を書き添えること。

検算

$b\to1^{+}$ では $a_{\mathrm{orb}}\to R$、$r_{\max}\to R$、$T\to T_0$ となり、円軌道に連続につながる。 $b\to\sqrt{2}^{-}$ では $a_{\mathrm{orb}},r_{\max},T$ がいずれも発散し、脱出直前の極限として妥当である。 さらに $T_0=2\pi R/v_0=2\pi\sqrt{R^3/GM}$ は1-5)で求めた振動周期に一致しており、球内部の単振動と表面円軌道が同じ時間尺度をもつことが確かめられる。

失点しやすい点

1-7)で $b<\sqrt2$ だけを書いて、$b>1$ の場合に球面と交わらないことに触れないと不十分である。逆に $b<1$ なら点Pが遠地点になり、軌道が球の中に食い込んで表面に衝突するため戻れない。この向きの議論を1行入れておくと、条件式の意味が明確になる。1-9)では、求めるのが「点Pに戻るまでの時間」＝1公転周期であって半周期ではないことに注意する。

方針

ガウスの法則を使う前に、対称性から「$\vec{E}$ は動径方向のみ」「大きさは $r$ のみに依存」を言い切っておくことが必要である。この2点がないと、面積分を $E\cdot2\pi r\ell$ と書く根拠がない。無限長という設定は、この2点を保証するために置かれている。

検算

静電容量の式は次元が正しい。$\epsilon_0$ は $\mathrm{F/m}$ の次元をもち、$\log(b/a)$ は無次元なので、$C$ は単位長さあたりの容量 $\mathrm{F/m}$ になる。また $b\to a$ で $\log(b/a)\to0$ となり $C\to\infty$、これは間隔が狭い平行平板に近づく極限として妥当である。実際 $b=a+d$（$d\ll a$）とすると $\log(b/a)\simeq d/a$ より $C\simeq\epsilon_0\cdot2\pi a/d$ となり、面積 $2\pi a$、間隔 $d$ の平行平板の式に一致する。

失点しやすい点

「導体円柱の表面に電荷が分布する」と与えられているので、$r<a$ では場が $0$ である。ここを一様な体積電荷と取り違えて $E\propto r$ としないこと。また $b<r$ で場が消えるのは外部導体の負電荷のおかげであり、同軸ケーブルが外に電場を漏らさない理由でもある。答案では「囲まれた正味の電荷が $0$ だから」と根拠を書く。

内部磁束をそのまま足してはいけない理由

$L=\Phi/I$ という関係は、閉回路が磁束の全体と鎖交している場合の式である。導体円柱の内部を通る磁力線は、半径 $r$ より内側を流れる電流だけと鎖交し、外側を流れる分とは鎖交しない。したがって鎖交磁束は $\Phi_{\mathrm{in}}$ そのものではなく、電流の割合 $r^2/a^2$ で重みを付けた $$\Phi_{\mathrm{link}} =\int_0^a\frac{r^2}{a^2}\frac{\mu Ir}{2\pi a^2}dr =\frac{\mu I}{8\pi}$$ になる。これは上のエネルギー計算から得た $\mu/(8\pi)$ と一致する。$\Phi_{\mathrm{in}}/I=\mu/(4\pi)$ を足すと内部項が2倍になってしまう。

検算

$\mu$ を含む項は導体の太さ $a$ にも $b$ にも依らない。内部磁場が $r/a^2$ に比例し体積が $a^2$ に比例するので、エネルギーの $a$ 依存性が相殺するからである。外部項 $\mu_0\log(b/a)/(2\pi)$ と静電容量 $2\pi\epsilon_0/\log(b/a)$ の積は $LC=\mu_0\epsilon_0=1/c^2$ となり、伝送線路の基本関係を再現する（内部項は高周波では表皮効果で消えるので、この関係は外部項で成り立つ）。

グラフで示すべき点

$\mu>\mu_0$ と条件が与えられているのは、$r=a$ での不連続な跳びを描かせるためである。境界で連続なのは $H$ の接線成分であって $B$ ではない。$B$ が $\mu I/(2\pi a)$ から $\mu_0 I/(2\pi a)$ へ落ちること、$r=b$ で $0$ に落ちることの2か所の不連続をはっきり描く。

失点しやすい点

$r<a$ で透磁率を $\mu_0$ にする誤りが最も多い。透磁率だけ別記号にしてある意図を読み取る。電流分布は「円柱内を一様」と指定されており、静電場での「表面に分布」とは異なる。

方針

1-1) は「発散する解を捨てる」だけだが、井戸の外の方程式が $\psi''=\kappa^2\psi$（符号が中と逆）になることを書かないと出発点が立たない。$0<E<V_0$ という条件は、この符号を保証するために置かれている。1-3) 以降は 1-2) の結論を境界条件に使うので、$V_0\to\infty\Rightarrow X\to0\Rightarrow\psi(0)=\psi(a)=0$ の3段を明示すれば、無限井戸を天下りに持ち出さずに済む。

検算

基底状態について $\Delta x$ を実際に計算すると、$\langle x\rangle=a/2$、 $\langle x^2\rangle=a^2\left(\frac13-\frac{1}{2\pi^2}\right)$ より $(\Delta x)^2=a^2\left(\frac{1}{12}-\frac{1}{2\pi^2}\right)$、$\Delta x\simeq0.181a$ である。また $\Delta p=\sqrt{2mE_1}=\pi\hbar/a$ だから $\Delta x\,\Delta p\simeq0.568\hbar>\hbar/2$ となり、不確定性関係は破れていない。1-5) の下限に対し正しい値は $\pi^2\hbar^2/(2ma^2)$ で、比は $\pi^2\simeq9.9$、桁は合っている。

$X$ の別の読み方

$\sqrt{2m(V_0-E)}$ は、外側で運動エネルギーが負になることに対応する「虚の運動量」の大きさ $p_{\mathrm{im}}$ である。よって $X=\hbar/p_{\mathrm{im}}$ と書け、不確定性関係の形をしている。長さ $X$ の範囲に粒子を見つけると運動量の不確定さは $\hbar/X$ 以上になり、そのエネルギー $(\hbar/X)^2/2m=V_0-E$ が不足分を埋める。染み出しは、位置を限れば運動量が広がるという関係の帰結であって、エネルギー保存を破るものではない。

失点しやすい点

1-5) で $\Delta x=a$ と置くと下限が $4$ 倍小さくなる。$\Delta x$ は区間の幅ではなく標準偏差なので、幅 $a$ の区間に閉じ込められた分布では $\Delta x\le a/2$ である。また $\langle p\rangle=0$ を断らずに $E=(\Delta p)^2/2m$ と書くと論理が飛ぶ。定在波は右向きと左向きの成分を等量含むので平均運動量が消える、と一言添える。

方針

3問とも交換関係の代数だけで閉じる。2-1) は $[AB,C]=A[B,C]+[A,C]B$ を使えば1行、2-3) は $[l_z,l_\pm]=\pm l_\pm$ を出せば1行で終わる。注意すべきなのは、$l_x$ と $l_y$ が交換しないため $l_xl_y+l_yl_x$ を $2l_xl_y$ と書けない点だけである。

結果の整合性

$l_x^2$ と $l_z$ はどちらもエルミートだから、その交換子は反エルミートでなければならない。得られた $-i(l_xl_y+l_yl_x)$ はエルミートな量に純虚数を掛けた形で、確かに反エルミートである。$i$ や符号を落としていないことの手早い確認になる。同じ計算を $l_y^2$ について行うと $[l_y^2,l_z]=+i(l_xl_y+l_yl_x)$ と符号が反転し、和をとると $[l_x^2+l_y^2,l_z]=0$、すなわち $[\vec{l}^2,l_z]=0$ が再現される。問題文で $\vec{l}^2$ と $l_z$ が同時対角化されると述べられているのは、この関係のことである。

一価性の条件が効く場所

2-2) で $m$ が整数に限られるのは、微分方程式ではなく波動関数の一価性から来る。この条件を書かずに「$m$ は任意の実数」とすると、$|m|<2$ を満たす固有値が連続無限個になってしまう。軌道角運動量に半整数が現れないのは、この一価性の要請があるからである。

この設問が試していること

昇降演算子が $l_z$ の固有値を $\pm1$ ずらすという、角運動量の代数の中心にある性質を、公式の暗記ではなく交換関係から導けるかを見ている。答案に $[l_z,l_-]=-l_-$ の計算過程を残さないと、$m-1$ が $m+1$ でない根拠を示せない。

方針

どちらのマクスウェル関係式を使うかは、求めたい偏微分の「固定されている変数」で決まる。$(\partial S/\partial p)_T$ は $T,p$ を独立変数にとる量なので、その組を自然な変数にもつ $G$ から出す。$(\partial S/\partial V)_T$ は $T,V$ の組なので $F$ から出す。この対応を最初に書いてしまえば、あとは二階偏微分の交換を1行書くだけである。

検算（理想気体）

理想気体 $pV=Nk_{\mathrm B}T$ では $\alpha=1/T$、$\kappa=1/p$ だから $$C_V-C_p=-TV\frac{(1/T)^2}{1/p}=-\frac{pV}{T}=-Nk_{\mathrm B}$$ となり、マイヤーの関係 $C_p-C_V=Nk_{\mathrm B}$ を再現する。1-4) の結果は $a\to0$ でこれに一致するので、実在気体の補正項 $2pa/(k_{\mathrm B}T)^2$ が理想気体からのずれを表していることが確かめられる。分子間引力 $a$ が大きいほど $C_p-C_V$ が増える向きになる。

$b$ が現れない理由

排除体積の項 $Nb$ は $V$ に定数として加わるだけなので、$(\partial V/\partial T)_p$ にも $(\partial V/\partial p)_T$ にも寄与しない。$C_V-C_p$ が体積の微分だけで決まる量である以上、$b$ が消えるのは当然である。逆に言えば、この設問で $b$ を残した答えを書いたら、どこかで微分を誤っている。答えに $b$ がないことを一言添えておくと、意図的な結果であることが採点者に伝わる。

失点しやすい点

問題文の関係式は $C_p-C_V$ ではなく $C_V-C_p$ について書かれているため、結果は負になる。符号を「熱容量だから正のはず」と直してしまうと、$-TV\alpha^2/\kappa$ を示せという 1-3) の要求と食い違う。また $\kappa$ の定義には最初からマイナス符号が入っており、$(\partial V/\partial p)_T=-V\kappa$ である。ここで符号を二重に付けたり落としたりする誤りが多いので、定義式をそのまま書き写してから代入する。

図示で示すべき点

「$T$ の関数として図示せよ」で読み取られるのは3点である。$T\to0$ の切片が $N\epsilon_{\mathrm A}$（全粒子が下の準位）であること、$T\to\infty$ の漸近線が $N(\epsilon_{\mathrm A}+\epsilon_{\mathrm B})/2$（両準位が等確率）であること、そして低温側が指数関数的に平坦で、$k_{\mathrm B}T\simeq\Delta$ 付近に立ち上がりが集中することである。上限がある点が二準位系の特徴で、調和振動子のように $E$ が $T$ に比例して伸び続けることはない。漸近線を破線で入れ、横軸の目盛を $\Delta/k_{\mathrm B}$ 単位で振っておくと、この3点がすべて図から読める。

検算

2-2) と 2-3) は独立に導いたが、整合している。$E=N\{p_{\mathrm A}\epsilon_{\mathrm A}+(1-p_{\mathrm A})\epsilon_{\mathrm B}\}$ に $1-p_{\mathrm A}=e^{-\beta\Delta}/(1+e^{-\beta\Delta})=1/(e^{\beta\Delta}+1)$ を入れると、2-3) の式にそのまま一致する。また 2-4) の厳密な表式で $k_{\mathrm B}T\gg\Delta$ とすると $C\simeq Nk_{\mathrm B}(\Delta/k_{\mathrm B}T)^2/4\to0$ となり、高温でも熱容量が消える。低温・高温の両側で $0$ になり中間に極大をもつこの山はショットキー比熱と呼ばれ、極大は $k_{\mathrm B}T\simeq0.42\Delta$ にある。

低温で熱容量が指数的に消える理由

$k_{\mathrm B}T\ll\Delta$ では、粒子を上の準位へ上げるのに必要なエネルギー $\Delta$ を熱ゆらぎが供給できる確率が $e^{-\Delta/k_{\mathrm B}T}$ しかない。温度を少し上げても励起される粒子がほとんど増えないので、エネルギーの吸収能力＝熱容量が指数的に小さくなる。指数の肩に現れる $c_2$ がエネルギーギャップそのものであることは重要で、実験では低温比熱の対数を $1/T$ に対してプロットし、その傾きからギャップを読み取る。

失点しやすい点

$c_1$ は $T$ を含んでおり定数ではない。指数関数に比べればべき的な変化はゆるやかなので、支配的な因子は $\exp(-c_2/k_{\mathrm B}T)$ であるという意味での前因子である。「$c_1$ は定数のはず」と考えて $(\Delta/k_{\mathrm B}T)^2$ を落とすと、次数が変わってしまう。もう1点、2-1) で「区別できる」という条件を使わずに $Z=z^N/N!$ としないこと。この条件が明記されているのは、ギブスの補正を入れるかどうかを判断させるためである。