静岡大 総合科学技術研究科 理学専攻 数学コース 数学 2024年第1回募集 院試 解答例・解説

方針

英語証明問題では、記号を避ける指定があるため、論理記号の羅列ではなく、自然文で「任意に取る」「十分大きく取る」「したがって」と書くのがよい。本文中の不等式は答案の明確化に必要なので使ってよい。

答案上の注意

Cauchy列の和では、同じ $N$ で2つの列を同時に制御するために最大値を取る。集合の問題では、等式そのものから一気に結論を書くのではなく、両包含を別々に示すと採点者に伝わりやすい。

検算

第(1)問では $\varepsilon/2$ と $\varepsilon/2$ に分けたため、最後は厳密に $\varepsilon$ 未満になる。第(2)問では、$X\cup Y=X\cap Y$ から $X\subset X\cap Y$ を使う向きが重要で、$X\cap Y\subset X$ は常に真なので結論には使えない。

方針

第(1)問は中間値の定理を上限性質で証明する問題である。第(2)問は単調関数のリーマン可積分性の標準証明、第(4)問は円板上の積分なので極座標に直すのが自然である。

典型ミス

第(3)問では、陰関数の極値を求めるとき $F_x=F_y=0$ だけでなく、元の曲面条件 $F=0$ に戻して候補点を決める必要がある。また、候補点の値を並べるだけでは極大・極小の分類にならない。固定した $z$ に対して $x,y$ の二次形式を平方完成すると、$z=7$ は上側の枝の底、$z=-7$ は下側の枝の頂点であることが見える。

方針

エルミート行列の核心は、ユニタリ対角化により直交座標で実固有値の重み付き平均に帰着できる点である。Rayleigh商は固有値の凸結合になるため、最小固有値と最大固有値の間に挟まれる。

答案上の注意

等号条件では「最小固有値以外の成分が消える」ことを明示する。第(4)問では、交差項の係数を半分にして対称行列へ入れるのではなく、$u^{\mathsf T}Bu$ のオフ対角項が2倍で出ることを使って $B_{12}=-1$, $B_{23}=-2$, $B_{13}=1$ と置く。

検算

第(4)問の最大点候補では $\|(1,-1,1)\|^2=3$、最小点候補では $\|(0,1,1)\|^2=2$ なので、正規化後は単位球面条件を満たす。また $$B(1,-1,1)^{\mathsf T}=4(1,-1,1)^{\mathsf T},\qquad B(0,1,1)^{\mathsf T}=-(0,1,1)^{\mathsf T}$$ を代入で確認でき、固有ベクトルの取り違えを防げる。

方針

閉包の定義で直接進めてもよいが、全小問で最も使いやすいのは「稠密集合は任意の空でない開集合と交わる」という同値条件である。積空間では基本開集合、連続写像では逆像、開写像では像を使う。

典型ミス

第(4)問では全射性が必要である。全射でないと、$Y$ の空でない開集合でも逆像が空になり得る。第(5)問では連続性ではなく開写像性を使う。空でない開集合 $U$ の像 $f(U)$ が空でない開集合になる、という流れを明記する。

仮定の使い分け

第(4)問は「$Y$ の開集合を $X$ に引き戻す」ので連続性を使い、全射性で逆像が空でないことを保証する。第(5)問は「$X$ の開集合を $Y$ に押し出す」ので開写像性を使う。両者を混同して、連続写像なら像が開になると書くのは誤りである。