静岡大 総合科学技術研究科 理学専攻 数学コース 数学 2025年第2回募集 院試 解答例・解説

英語証明で求められていること

この問題では論理記号を使わないことが条件なので、答案では ``for every'', ``assume'', ``there is'' などの通常の英文で量化を表す。 証明そのものは標準的で、(1) は数学的帰納法、(2) は収束の定義から 触点の定義を直接確認する。

(1) の要点

帰納法の計算では $$7^{n+1}-2(n+1)-1 =7(7^n-2n-1)+12n+4$$ と、帰納法の仮定で割り切れる部分を明示するのが安全である。 合同式を使えば一行で済むが、英語証明として採点される場合は 「どの項が帰納法の仮定で処理されるか」を英文で述べる方がよい。

(2) の要点

距離空間で点 $y$ が集合 $A$ の触点であるとは、任意の半径の $y$ 中心の開球が $A$ と交わることをいう。ここで $A=\{x_n:n\in\mathbb N\}$ とおけば、収束の定義により十分大きい 添字 $N$ で $x_N$ はその開球に入る。$y$ 自身が列の値として 現れる必要はない。

(1) 右微分は特別な近づき方にも効く

右微分可能とは、$x\downarrow 0$ として連続的に近づけたときの商の 極限が存在するということである。したがって、その中の特別な列 $x=1/n$ に沿った極限も同じ値になる。段階関数の細部よりも、 右端点で $f(1/n)=a_n$ となることを見抜くのがこの小問の中心である。

(2) Thomae 型関数の標準評価

大きな値を取る点は、分母の小さい有理数に限られる。分母を $M$ 以下に制限すると有限個になり、その有限集合のまわりだけを 短い区間で覆えばよい。残りの点では関数値そのものが小さい。 この「有限個の悪い点を短い区間に閉じ込める」議論が、 Thomae 関数のリーマン積分可能性の標準手法である。

(3) ブロック三角行列

$F$ は $y$ 成分をそのまま残す写像なので、微分行列の右下には $I_m$、左下には $0$ が現れる。上三角ブロック行列では、対角ブロック が正則なら全体も正則である。ここではその事実を、核が $0$ である ことから直接確認している。

(4) 領域に合わせた変数変換

領域の条件が $x+y$ と $x-y$ で書かれているため、同じ量を新変数に 取ると長方形になる。ヤコビアンの絶対値が $1/2$ であることを 落とすと答が2倍ずれるので注意する。

annihilator の向き

$W^\perp$ は $V$ の部分集合から $V^*$ の部分集合を作る操作であり、 $S^\perp$ は $V^*$ の部分集合から $V$ の部分集合を作る操作である。 どちらも「そこにあるすべての線形汎関数、またはすべてのベクトルを 消すもの」を集めている。記号は同じ $\perp$ でも、属する空間が 入れ替わる点に注意する。

和と共通部分が入れ替わる理由

$W_1+W_2$ 上で $0$ になることは、$W_1$ 上でも $W_2$ 上でも $0$ になることと同値である。したがって annihilator を取ると 和が共通部分に変わる。これは線形代数で頻出する 「大きい部分空間ほど、それを消す汎関数は少ない」という反変性の 具体例である。

二重 annihilator と有限次元性

$W\subset (W^\perp)^\perp$ は定義から直ちに従う。逆向きでは、 $W$ の基底を $V$ の基底に延長し、$W$ の外側の座標を取り出す 座標汎関数を使う。これらの座標汎関数は $W$ を消すので $W^\perp$ に属し、$(W^\perp)^\perp$ の元は外側の座標をすべて 持てない。有限次元性は、この「基底を延長して座標で分離する」 議論を保証するために使われている。

(1) 連結性は逆像で証明する

連続写像の定義は開集合の逆像について述べるので、連続像の連結性を 示すときは「像が分離された」と仮定し、その分離を逆像で引き戻す。 像側で分離が存在すれば、定義域側の連結集合にも分離が生じるため 矛盾する。

(2) 連続全単射でも連結性は反映しない

離散位相から通常位相への恒等写像は連続になりやすい。これは、 定義域側ではすべての集合が開なので、どの開集合の逆像も自動的に 開になるからである。連続全単射であっても、定義域の連結性が 値域に反映されるとは限らない。

(3) 閉包と一点付加

$x$ が $A$ の閉包に入るとは、$x$ のどの近傍も $A$ と交わること である。したがって $A$ に $x$ を1点だけ加えても、$x$ を $A$ から 開集合で切り離せない。逆に閉包に入らないなら、$x$ と $A$ を 近傍で分けられる。$T_1$ 条件は一点集合 $\{x\}$ の補集合が開である ことを保証し、逆向きの分離を作るために使う。

(4) 連結部分集合だけでは位相を復元できない

$\mathbb Q$ の通常相対位相では、任意の2つの有理数の間に無理数を 挟めるため、2点以上を含む部分集合はその無理数を境に分離できる。 したがって連結部分集合は一点集合だけである。この情報は離散位相と 同じなので、すべての部分集合の連結性を保っても、開集合の情報までは 決まらない。

(5) なぜ追加条件で同相性が出るか

追加条件は、$X$ の開集合を「連結な補集合を持つ開集合」で生成できる という基底条件である。補集合が連結な開集合 $U$ については、 (3) により「$X-U$ に $x\in U$ を加えると非連結になる」という性質で $U$ の各点を特徴づけられる。この性質は全ての部分集合の連結性保存で $Y$ 側へ移るため、$f(U)$ が開であることが分かる。基底の像が開なら 任意の開集合の像も開であり、連続全単射は同相写像になる。