東北大 工学研究科 マテリアル・開発系 マテリアル・開発系 数学・専門科目 2024年度 院試 解答例・解説

採点で見られる点

ベクトル解析では，$\nabla\times\nabla f=\mathbf{0}$ を公式だけで書くより，一度成分を出しておくと符号ミスを防げる。行列の問題では，まず固有値条件で $a$ を確定し，その後に $AB=BA$ を成分比較する順序が安定する。

典型ミス

$a$ が未定のまま可換条件を立てると計算量が増え，条件を落としやすい。また，$\nabla\cdot(\nabla f)$ は $\nabla f$ の成分和ではなくラプラシアンである。

方針

複素数の累乗は偏角で処理する。$2023$ 乗は直接展開せず，周期 $8$ で指数を簡約する。ローラン展開では，指定領域 $|z|>1$ に合わせて $z^{-1}$ の級数に直すことが重要である。

典型ミス

$1/(z-1)$ を $-(1+z+z^2+\cdots)$ と展開すると，それは $|z|<1$ の展開であり本問の領域と合わない。

採点で見られる点

電子線回折では，ブラッグ条件とド・ブロイ波長の式を結びつける。電圧を大きくすると波長は短くなるため，同じ角度での次の強め合いは高次反射として扱う。

典型ミス

$\lambda\propto V^{-1}$ としてしまうと，電圧比が $2$ になる誤答になる。正しくは $\lambda\propto V^{-1/2}$ である。

方針

無限井戸の本質は境界条件である。微分方程式の一般解を書いたあと，$x=0$ と $x=L$ で波動関数が消える条件から量子数を出す。

典型ミス

$n=0$ を許すと波動関数が恒等的に $0$ になり，物理状態ではない。また，$\cos$ 項が残る形で答えると $u(0)=0$ を満たさない。

採点で見られる点

仕事の符号規約を最初に明示する。カルノー効率は，断熱過程によって等温過程の体積比が等しくなることを使うと一行で整理できる。

典型ミス

断熱圧縮の温度比を $T_2/T_1=(V_2/V_1)^{\gamma-1}$ と逆に書くと，圧縮で温度が下がる不自然な答になる。

方針

分子線の問題は，数密度 $P/(kT)$，平均速度，入射頻度 $\Gamma=n_g\langle v\rangle/4$ の三つを順に接続する。

典型ミス

モル質量 $M$ をそのまま一分子質量として使うと桁が大きく崩れる。必ず $m=M/N_A$ に直す。

採点で見られる点

図読取問題では，桁を答えるときに「どの線のどの温度を読んだか」を言葉で残すとよい。活量が1でない場合は，エリンガム線そのものが $RT\ln a$ の分だけ移動する。

典型ミス

$\mathrm{NiO}$ 活量低下を無視して，通常の $\mathrm{Ni}/\mathrm{NiO}$ 線だけで還元可能金属を選ぶと，$\mathrm{Fe}$ や $\mathrm{Sn}$ を誤って含めやすい。

方針

境膜物質移動と表面反応を直列抵抗として扱う。総括速度は $1/k_f+1/k_c$ の形に整理すると，どちらが律速か判断しやすい。

典型ミス

球の表面積を $4\pi r^2$ と書くのは正しいが，直径 $d_p$ を使えば $4\pi(d_p/2)^2=\pi d_p^2$ である。ここで $4\pi d_p^2$ としてしまう誤りが多い。

採点で見られる点

核生成の自由エネルギーは，界面項が $r^2$，体積駆動力が $r^3$ で効く。この次数の違いから臨界半径と障壁が生じる。

典型ミス

ひずみエネルギー $\Delta G_S$ は駆動力を弱める項であり，$\Delta G_V+\Delta G_S$ と足してしまうと臨界半径を過小評価する。

方針

格子振動では，隣接原子からの復元力を運動方程式に入れ，平面波解を代入する。分散関係の形だけでなく，$q\to0$ の極限を説明できることが重要である。

典型ミス

$e^{iqa}+e^{-iqa}=2\cos qa$ を使う段階で符号を落とすと，$\omega^2$ が負になる。復元力は必ず安定な正の $\omega^2$ を与える。

採点で見られる点

入熱計算では単位換算を明示する。炭素当量は，値そのものよりも「どちらが硬化しやすいか」「CCT図上でどちらへ進むか」まで述べると答案として強い。

典型ミス

$\mathrm{J/cm}$ と $\mathrm{kJ/cm}$ の換算を忘れると，入熱が1000倍ずれる。また，炭素量だけで割れ感受性を判断せず，Mn, Cr, Mo などの寄与を入れる。

方針

切欠きは応力集中係数，き裂は応力拡大係数で扱う。両者を混同せず，有限半径の欠陥か鋭いき裂かでモデルを切り替える。

典型ミス

中央貫通き裂の式で $a$ は半長である。問題が全長を聞いている場合は最後に $2a$ へ戻す。