東北大 工学研究科 マテリアル・開発系 マテリアル・開発系 数学・専門科目 2025年度 院試 解答例・解説

採点で見られる点

複素積分では，どの極が積分路の内部にあるかを明記する。二重積分では楕円を円に直す変数変換とヤコビアンが得点の中心である。

典型ミス

$z=-2ai$ は長方形の下側にあるため内部に入らない。楕円変換では $dxdy=2dXdY/3$ を落とすと係数が誤る。

方針

フーリエ変換は正規化係数が流儀で変わる。本問の定義ではデルタ関数の変換が $1/(2\pi)$ になる点を最後に確認する。

典型ミス

矩形関数の極限で，幅を0にするだけではデルタ関数にならない。面積が1になるよう高さ $1/(2d)$ を同時に入れる。

採点で見られる点

台車が動くため，小球の速度に交差項 $2r\cos\theta\,\dot X\dot\theta$ が入る。ここを正しく入れれば，固定台車より周期が短くなる結果も自然に出る。

典型ミス

小球を単なる振り子として扱うと，台車の反動が消えて可動台車の効果を失う。水平重心保存は検算にも使える。

方針

球対称問題はガウス面を半径 $r$ の球に取る。導体がある場合は，導体内部の電場が0になるよう誘導電荷を決める。

典型ミス

容量式で $b-a$ を分母に置く。平行板の感覚で距離だけを分子に置くと次元が合わない。

採点で見られる点

$[C]$ は直接積分してもよいが，物質収支で出すとミスが少ない。定常状態近似では「中間体濃度の時間変化を0とみなす」根拠を一言添える。

典型ミス

$k_1=k_2$ の場合に $k_2-k_1$ を含む式をそのまま使うと不定形になる。別途極限または再積分で処理する。

方針

平均エネルギーは温度だけで決まり，速度は質量に依存する。噴散速度の比較では同じ温度なら $1/\sqrt{M}$ だけを見ればよい。

典型ミス

モル質量を $\mathrm{g\,mol^{-1}}$ のまま $R$ と組み合わせると単位が合わない。数値代入では $\mathrm{kg\,mol^{-1}}$ に直す。

方針

部分モル量は接線の切片で読む。式だけでなく，理想溶体では活量がモル分率に等しくなることを押さえる。

典型ミス

$\bar{G}_B$ と全体の $G$ を混同しない。部分モル量は組成を変えたときの接線から出る量である。

採点で見られる点

電位-pH図では，電子を含む反応は電位依存，$\mathrm{H}^+$ を含む反応はpH依存になる。水平線と傾きのある線を区別する。

典型ミス

$\Delta G^\circ=-nFE^\circ$ の符号を逆にすると，Pb/Pb$^{2+}$ 線が正電位側に出てしまう。

方針

コンデンサでは $C,Q,E,D,P$ を順に結ぶ。強誘電性は「構造の反転対称性が破れる」ことを中心に説明する。

典型ミス

$D$ と $P$ を同一視しない。真空分の $\varepsilon_0E$ を除いたものが分極 $P$ である。

採点で見られる点

カーケンドール効果は「相互拡散」ではなく「固有拡散係数の差」を示す実験である。空孔濃度と拡散係数の導出では，エントロピー項とランダムウォーク係数 $1/6$ を落とさない。

典型ミス

マーカーが濃度勾配の中央に固定されると考えるのは誤りである。不活性マーカーは格子の流れを追う。

方針

疲労では $\Delta K$，不安定破壊では $K_{\max}$ を使う。応力比 $R=-1$ のため，最大応力が応力範囲の半分になる点が重要である。

典型ミス

不安定破壊条件に $\Delta K$ をそのまま使うと，$K_{\max}$ との係数2を落とす。

採点で見られる点

主応力は2次元ブロックで解き，$z$ 方向の0主応力を忘れない。塑性ひずみ増分は偏差応力に比例するため，平均応力を差し引いてから比を取る。

典型ミス

ミーゼス応力を最大主応力と常に同じと考えるのは危険である。本問では偶然 $\sigma_2=\sigma_3=0$ なので一致している。