東大 工学系 院試 数学の過去問｜6分野38問の出題と3問の選び方

東京大学大学院工学系研究科の一般教育科目「数学」は、機械工学・精密工学・航空宇宙工学・物理工学・原子力国際の各専攻が課し、マテリアル工学とバイオエンジニアリングでは選択できる共通の筆記試験です。 2024〜2026年度は150分で6問から3問を選ぶ形式で、6問は微分方程式、線形代数、複素関数、曲線と曲面、フーリエ解析、確率の分野から1問ずつ出ています。 この記事は、2021〜2026年度の6回分、38問・162設問を院試Hubの解答原稿から分析し、3問の選び方と誤りやすい設問をまとめたものです。

問題は工学系研究科の「過去の入試問題」で2017〜2026年度分が公開されています。大学による解答はありません（2026年10月28日確認）。 院試Hubでは、各年度の第1問の解答を年度別ページで無料公開しています。対象の6問は無料解答の一覧にまとめました。

試験時間・選ぶ問題数と、数学を課す専攻

数学の形式は年度によって変わっています。下の表は、各年度の問題冊子の表紙にある試験時間と解答指示です。

問題文は日本語と英語の両方があり、答案はどちらの言語で書いてもかまいません。2023年度の120分・6問必答は、2024年度以降の150分・3問選択と分量の前提が違い、1問にかけられる時間は約20分と約50分です。 2023年度の問題を通しで使うときは、6問から3問を選んで150分で解けば、2024年度以降と同じ条件で練習できます。

2027年度の数学は、2026年8月31日13時〜15時30分に行われました（航空宇宙工学専攻の2027年度入試案内）。募集要項の別紙「一般教育科目の出題分野」は、6問の中から専攻入試案内の指示に従って3問・2問・1問のいずれかを選ぶとしています。 航空宇宙工学専攻と精密工学専攻の2027年度入試案内はどちらも6問から3問で、機械工学専攻も機械工学のガイドにまとめたとおり3問です。 過去の実施日は、2023年度が2022年8月29日、2024年度が2023年8月28日、2025年度が2024年8月26日、2026年度が2025年8月25日でした（精密工学専攻の各年度の入試案内）。

2027年度に数学を課す専攻

2027年度修士課程募集要項の3〜4ページで、一般教育科目に数学が入っている専攻は次のとおりです。

社会基盤学専攻は、2025・2026年度の問題表紙に「任意の1問」という指示がありましたが、2027年度の募集要項では一般教育科目が「なし」になっています。電気系工学、建築学、都市工学、システム創成学、化学システム工学、化学生命工学、技術経営戦略学も数学を課さず、応用化学専攻の一般教育科目は化学です。 数学を課す専攻のうち、機械工学・精密工学・原子力国際・バイオエンジニアリングの4専攻は特別口述試験を行い、そこで選ばれた志願者は筆記試験などが免除されます。英語のスコアの条件は専攻ごとに違うので、東大工学系の入試情報で確認してください。

問題番号と分野の対応

2023〜2026年度の4回は、問題番号と分野の対応が同じでした。各問の内容を、院試Hubの解答原稿の見出しから短くまとめます。最下行の設問数は、解答原稿で分けた数の6問分の合計です。

募集要項の別紙が挙げる6分野（微分積分および微分方程式、級数・フーリエ解析および積分変換、ベクトル・行列・固有値、曲線・曲面、関数論・複素数、確率・統計・情報数学ほか）から、毎年1問ずつ出ている形です。 研究科の一般教育科目の出題の意図も、工学に横断的に関わるこれらの分野を出題の対象としていると説明しています。この4回の第6問は確率モデルの計算が中心で、標本から母数を推定する問題や検定の問題は出ていません。2027年度以降も同じ並びになる保証はないので、当日は問題を読んでから選びます。

1問の設問数は、解答原稿で数えると2〜8です。2024年度第5問は連続と離散のフーリエ変換で8設問、2023年度第4問は断面と表面積の2設問でした。分野だけで選ぶと、同じ50分でも書く量が大きく変わります。

2021・2022年度は分野別の3冊

2021・2022年度は、数学1〜3の3冊に分かれていました。2022年度の表紙では、数学1が「微分積分および微分方程式」と「級数・フーリエ解析および積分変換」、数学2が「ベクトル・行列・固有値（線形代数）」と「曲線・曲面」、数学3が「関数論・複素数」と「確率・統計，情報数学，その他」です。 2021年度は数学1が微分積分・微分方程式、数学2が線形代数、数学3が複素関数論で、確率は数学2の中に行列を使う遷移の問題として出ています。

冊子の構成は今と違いますが、分野の範囲は重なっているので、2021・2022年度の問題も分野別の演習に使えます。

3問の選び方と失点しやすい箇所

4分野を準備して、当日3問を選ぶ

150分で3問なので、1問にかけられる時間は平均50分です。2023〜2026年度は分野と問題番号の対応が同じだったため、準備する分野を先に決められます。ただし同じ分野でも、年度で設問の型が変わります。 第2問の線形代数は、2023年度は対角化と正定値性でしたが、2025年度は行列指数関数、2026年度は行列が単位行列に戻る最小の指数まで進みました。

準備を3分野だけに絞ると、そのうち1問が見慣れない型だったときに選び直せません。4分野を準備しておき、当日は6問すべてを最後の設問まで読んでから3問を決めます。最初の設問が解けても、後半で使う定理や計算の量が見えないうちは決めないようにします。

以下は、院試Hubの解答原稿が各設問の山場や誤答例として取り上げた箇所です。完全な解答は年度別ページと解答PDFにあり、ここでは最初の一手と、答えがずれる典型を示します。

2026年度第1問：Riccati方程式は特解を書き戻す

2026年度第1問（無料公開）は、定数係数、Euler型、Riccati型の順に、方程式の形に合う置換を選ぶ問題です。Euler型では、y″ の係数から特性方程式に m(m−1) が入ります。m² と置くと解の指数が変わり、代入しても左辺が0になりません。

IIでは、先に二次式の特解 2x² を求め、次の置換で Riccati 方程式を一次線形方程式に直します。

v は積分因子で解けますが、v=1/u と置いた時点で u=0、すなわち y=2x² 自身は式から外れます。任意定数をどう選んでもこの解は出てこないので、最後に別の解として書き戻します。係数が0になる点で解をどこまで延ばせるかも、変形後の式ではなく元の方程式で確かめます。

2025年度第2問・第3問：行列指数関数と極の位数

2025年度第2問の行列指数関数は、各成分を指数関数にしたものではありません。零行列で試すと、成分ごとの計算では全成分が1の行列になり、定義から出る単位行列と合いません。対角化を使って求めるときは、両側の変換行列を残します。 III.1で行列指数関数の固有値の和を e^{tr A} と答えるのも誤りです。e^{tr A} に等しいのは、固有値の和ではなく行列式です。

同じ年度の第3問は、cot z/z² の留数から逆二乗の和を求めます。原点の極の位数を分母の z² だけで判断すると誤ります。cot z 自体も原点に 1/z の極を持つので、両方を合わせて数えます。 広がる正方形の上の積分が0に近づくことは、「1/z² が0に近づくから」では示せません。経路の長さも伸び、cot z は無限個の極を持つためです。関数の大きさと経路の長さの積を評価します。

2023年度第2問・第5問：正定値性の判定と、端点での級数の値

2023年度第2問は、実対称行列の対角化から二次形式の正定値性、二次関数の最小値へ進みます。「対角成分がすべて正だから正定値」とするのは誤りで、対角成分が1、非対角成分が2の2次の行列は、ベクトル (1, −1) で二次形式が負になります。固有値か平方完成で、非対角成分を含めて判定します。 最小値を求めるIVでは、二次形式の勾配に係数2が付きます。これを落とした点は停留点にならず、その点の値は最小値より大きくなります。

2023年度第5問のフーリエ級数では、不連続になる端点で級数が返す値に注意します。区間の内部で f(x)=x となる鋸歯状の関数では、端点 x=π での級数の和を、内部の式を延長した π と答える誤りが起きます。不連続点で級数が近づくのは左右の極限の平均です。端点の関数値を一つ変えても係数は変わらないので、級数の値は左右の極限から決まります。

2026年度第6問：非復元抽出と、条件付き確率が定まらない場合

2026年度第6問は、袋から玉を同時に取り出す非復元抽出です。復元抽出の二項分布と取り違えても期待値は一致しますが、分散は有限母集団の補正の分だけ大きく答えてしまいます。期待値が合うだけでは、モデルを確かめたことになりません。

最後のIV.2は、原題で許される n=R=G=1 の場合に、条件となる事象の確率が0になり、条件付き確率が定義されません。院試Hubの解答は、この組だけを除けば分母が正になることを示したうえで一般式を答えています。条件付き確率の式を書く前に、条件にする事象の確率が0にならないかを確かめる例として使えます。

2024年度第4問：媒介変数表示が退化する点

2024年度第4問は、サイクロイドの長さと曲率、双曲面の切り口・法線・Gauss曲率です。サイクロイドの長さを水平方向の変位だけで積分すると、縦の動きを落とし、両端の水平距離 2πa を長さと答えてしまいます。速さは二つの成分の二乗和の平方根です。 双曲面の頂点では、媒介変数表示の第一基本量が退化して EG−F²=0 になります。そこへ曲率の公式を当てはめて K=0 と答えるのは誤りです。公式は正則な表示でしか使えないので、頂点の近くを高さの関数として展開し直して曲率を求めます。

2022年度数学3 問II：観測列の確率と、個数の確率

2022年度数学3の問IIは、製品が欠陥品かどうかを0と1の列で観測し、欠陥率のベータ事前分布を更新するベイズ推定の問題です。尤度は、並び順を含む観測列そのものの確率です。 二項係数を掛けると欠陥品の個数の確率に変わり、例えば2個中1個が欠陥の場合は、特定の列の確率の2倍を答えることになります。事後分布の正規化に使う観測事象を、途中で個数に置き換えないようにします。

分野別の練習と参考書

6回分の問題を分野で分けると、次のようになります。準備する4分野を決めたら、その分野の問題を年度をまたいで続けて解き、同じ手順がどこで使われているかを確かめます。

参考書は、過去問で止まった論点を確かめるために使います。線形代数は齋藤正彦『線型代数入門』、微分積分は杉浦光夫『解析入門I』（いずれも東京大学出版会）、複素関数は神保道夫『複素関数入門』（岩波書店）、曲線と曲面は小林昭七『曲線と曲面の微分幾何』（裳華房）で該当箇所を確認できます。 確率の基礎は、東京大学教養学部統計学教室編『統計学入門』（東京大学出版会）の確率分布の章が使えます。定理の条件と練習例は、複素関数論の院試対策と線形代数の院試対策にもまとめています。

無料解答と解答PDFの使い方

次の6問は、年度別ページで解答と考え方を無料で読めます。自分で解いた後に、最終答だけでなく、置換や変形で除外した場合を答案に書いたかまで照合してください。

第2問以降の解答は、年度別ページでは公開していません。販売している解答・解説PDFは、2021〜2026年度の6回分、38問・162設問を144ページの1冊にまとめたもので、価格は3,200円です。本番で選ばなかった問題も含めて全問を解説し、目次と出題分野の一覧が付いています。 各設問で定義、公式の条件と導出、計算過程、検算と具体的な誤答を説明しています。問題本文と原図は収録していないので、公式の問題PDFと並べて使います。

演習では、1年度分の6問を読んで3問を選び、150分で解きます。終わったら、選ばなかった3問も分野別の練習として解き、本番で選べる分野を増やします。収録しているのは2021〜2026年度で、2026年に実施された2027年度の問題は入っていません。

物理学も受ける人は一般教育科目「物理学」のガイド、航空宇宙工学専攻の専門科目は航空宇宙工学のガイドで確認できます。 情報理工学系研究科の一般教育科目（数学）は別の試験で、東大情報理工の数学のガイドにまとめています。日程と英語の条件は東大工学系の入試情報にあります。