東大 工学系研究科 数学 2025年度 院試 過去問 解答例・解説（解説6項目）

逆べきの置換が働く理由

Bernoulli方程式 $y'+P(x)y=Q(x)y^m$、$m\ne1$ で $y\ne0$ とすると、$v=y^{1-m}$ は $$v'+(1-m)Pv=(1-m)Q$$ を満たす。$v'=(1-m)y^{-m}y'$ という連鎖律で、非線形のべきを消している。本問は $m=3$、$P=1/x$、$Q=1/x^3$ なので上の一次式になる。

一次方程式 $v'+pv=q$ は、$\mu'=p\mu$ を満たす非零関数を掛けると $(\mu v)'=\mu q$ に直せる。本問では $\mu=x^{-2}$ が $\mu'/\mu=-2/x$ を満たし、$x>0$ と $x<0$ のどちらでも使える。積分後の平方根では、元の方程式の区間と実数解の条件も必要になる。

零解と符号の扱い

$y^3$ で割る変形は $y=0$ を対象から外すので、最初に確認した零解を最後に加える。$x\ne0$ では右辺 $y^3/x^3-y/x$ は $y$ に関して滑らかで、局所的に解が一意である。したがって零解と非零解を通常点でつなぎ合わせる別の解を追加する必要はない。正負の平方根は一つの連結区間で固定して使う。

定数を固定した検算と誤式

$C=0$ なら $y=\pm\sqrt2x$。$y=\sqrt2x$ を原式へ戻すと左辺は $2\sqrt2$、右辺も $(\sqrt2)^3=2\sqrt2$ で一致する。逆数の微分の係数 $-2$ を落とし、$y=x/\sqrt{1+Cx^4}$ と書くと、$C=0$ で左辺2、右辺1となる。また、$y^{-2}$ の式だけで答案を終えると、零解を表せていない。

なぜ正弦も用意するのか

定数係数の線形作用素 $P(D)=D^2-5D+6$ では、指数関数に $D$ を作用させると指数の係数を掛けるだけなので、$P(r)=0$ の根から同次解を得る。二つの根が異なるため、$e^{2x},e^{3x}$ は線形独立であり同次解を尽くす。

一方、$\cos3x$ を一回微分すると $-3\sin3x$ になる。本問は一階微分項があるので、特解に余弦だけを置いても正弦成分が残る。正弦・余弦の張る二次元空間は微分で保たれるため、両方を置けば有限個の係数を決める問題に帰着する。$3i$ は特性根2,3と異なり、この空間で作用素は可逆である。

線形性と直接代入の確認

二つの特解の差は同次方程式を満たすので、特解一つに同次解の全体を足せば一般解になる。求めた係数を入れると、余弦係数は $(-3-75)/13=-6$、正弦係数は $(15-15)/13=0$ であり、右辺に一致する。

例えば特解を $2\cos3x$ として二階微分と $6y$ だけを合わせると、その二項の和は $-6\cos3x$ になるが、一階微分項から $30\sin3x$ が残る。右辺と同じ関数形を一つ置くだけでは足りない場合がある。全項を代入して初めて特解の確認になる。

極座標のJacobian

変換 $x=\rho\cos\theta$、$y=\rho\sin\theta$ のJacobian行列式は $$\det\begin{pmatrix}\cos\theta&-\rho\sin\theta\\ \sin\theta&\rho\cos\theta\end{pmatrix}=\rho.$$ したがって平面の面積要素は $dx\,dy=\rho\,d\rho\,d\theta$ である。半径方向へ0から境界まで積分すると $r^2/2$ になる。小扇形の面積が $r^2\,d\theta/2$ になるという説明とも一致する。

この式を単純に一周分積分してよいのは、$r>0$ で一つの方向に一つの境界点をもち、領域を重ねて数えないからである。負の半径や自己交差をもつ曲線では、領域の分割や重複を確認しなければならない。本問は $1\le r\le3$ なのでその問題は生じない。

三角積分と平均半径の誤り

$\int_0^{2\pi}\cos\theta=0$、$\cos^2\theta=(1+\cos2\theta)/2$ より二乗項の積分は $\pi$。半径2の円の面積 $4\pi$ に $\pi/2$ が加わる、とも読める。

半径の平均が2だから面積を $\pi\cdot2^2=4\pi$ とするのは、平均の二乗と二乗の平均を交換している。面積に必要なのは $r^2$ の平均であり、$\langle r^2\rangle=4+1/2$ である。半径の振れを表す $\langle\cos^2\theta\rangle=1/2$ は消えない。

媒介変数表示から傾きを求める条件

曲線を $x=x(t),y=y(t)$ と表し、$x'(t_0)\ne0$ なら、局所的に $t$ を $x$ の関数として解ける。よって連鎖律から $dy/dx=y'(t)/x'(t)$ になる。本問は $t=\theta$ で $x'=-1-\sqrt2\ne0$ なので、有限な傾きを求められる。接ベクトルも零ではない。

半径 $r$ も角度とともに変化するため、$r\cos\theta$ の微分には $r'\cos\theta$ と $-r\sin\theta$ の二項がある。同じように $y$ の微分でも二項を保つ。$dr/d\theta$ は半径の変化率であり、直交座標の接線の傾きとは別の量である。

接方向の確認と円との取り違え

この点で $\theta$ を増やすと $x$ は減り、$y$ は増える。したがって傾きは負であり、答え $\sqrt2-2\simeq-0.586$ はこの符号に合う。接線の方向ベクトル $(-1-\sqrt2,\sqrt2)$ を使っても同じ比になる。

$r'$ を0として円の接線の式 $-\cot\theta$ を使うと、$\theta=\pi/4$ で $-1$ と誤る。これは半径が一定の曲線だけの式である。また $dy/dx=dr/d\theta$ とすると $-\sqrt2/2$ になるが、$x,y$ の微分の比と一致しない。どの座標の変化率を求めているかを式で区別する。