東大 工学系研究科 数学 2023年度 院試 過去問 解答例・解説（解説6項目）

底が正である条件と微分係数

実数の指数 $b^x$ を全ての $x$ の近傍で一つの実数値関数として定義するには、$b>0$ が必要である。指数関数の微分 $(e^{kx})'=ke^{kx}$ から $(b^x)'=b^x\log b$、特に $x=0$ では導関数の値が $\log b$ になる。分子の定数項1同士を引いているので、その一次の変化の差だけが極限に残る。

テイラー展開で確かめると、$b^x=1+x\log b+O(x^2)$、$c^x=1+x\log c+O(x^2)$ である。固定された正の $a,b,c$ に対して剰余を $ax$ で割った部分は $O(x)$ となり、左右どちらから近付けても零へ収束する。$a>0$ より分母の定数係数も零でない。

等しい底と符号による確認

$b=c$ なら元の分子は全ての $x$ で零となり、答えも $(\log1)/a=0$ になる。$b>c$ なら底を固定した微分の差が正で、答えも正になる。例えば $a=2,b=e^3,c=e$ では極限は $(3-1)/2=1$ である。

指数を普通の一次関数と取り違えて $b^x-c^x\simeq(b-c)x$ とすると、同じ例で $(e^3-e)/2$ と誤る。一次係数は底そのものではなく、その対数である。また $x=0$ を直接代入した $0/0$ は値0を意味せず、分子と分母がどの速さで消えるかを調べる必要がある。

積分因子が積の微分を作る理由

一次線形方程式 $y'+p(x)y=q(x)$ では、$\mu'=p\mu$ を満たす零でない関数 $\mu=e^{\int p(x)dx}$ を掛けると $(\mu y)'=\mu q$ となる。本問は $p=-1/x$、$x>0$ なので $\mu=e^{-\log x}=1/x$ である。商の微分がちょうど積分因子を掛けた左辺に一致している。

右辺の積分では $u=\log x$、$du=dx/x$ と置くため、原始関数は $u^2/2$ になる。積分後に $y$ へ戻すと任意定数にも $x$ が掛かる。この $Cx$ は同次方程式 $y'-y/x=0$ の一般解であり、二つの解の差としても確認できる。

代入と任意定数の形の確認

$y'=\tfrac12(\log x)^2+C+\log x$、$y/x=\tfrac12(\log x)^2+C$ なので、差は確かに $\log x$ である。任意の $x_0>0$ と初期値 $y(x_0)=y_0$ に対し $C=y_0/x_0-(\log x_0)^2/2$ が一意に決まり、正の半直線上で解を与える。

最後を $y=x(\log x)^2/2+C$ と書くと、$C$ の寄与が原式で $-C/x$ と残る。例えば $C=1,x=1$ では右辺0に対して左辺が $-1$ となり、解でない。積分因子を戻す操作は、特解だけでなく積分定数にも適用する。

同次解と特解を足せる条件

演算子 $L[y]=y''-y'-2y$ は線形なので、$L[y_h]=0$、$L[y_p]=2x^2+2x$ なら $y_h+y_p$ も非同次方程式の解になる。逆に任意の二つの非同次解の差は同次方程式を満たすため、特解一つに同次一般解を足せば全ての解を表せる。

指数関数 $e^{rx}$ へ $L$ を作用させると $(r^2-r-2)e^{rx}$ となる。相異なる根2と $-1$ から得る二本は、ワロンシアンが $-3e^x\ne0$ なので一次独立である。右辺が二次多項式で、特性方程式に根0がないため、同じ次数の多項式で特解を探して係数を決められる。

直接の残差と定数項の役割

$y_p=-x^2-1$ なら $y_p'=-2x,y_p''=-2$ なので、左辺は $-2+2x+2x^2+2=2x^2+2x$。二つの指数項の残差はそれぞれ零である。係数が全実数上で連続な二階方程式なので、任意の一点で $y,y'$ を指定すれば二つの定数が決まる。

$y_p=-x^2$ だけで済ませると、残差は $2x^2+2x-2$ となり、定数項 $-2$ が残る。右辺に定数がない場合でも、微分によって定数が発生するため、特解には定数項を用意する。また特性根の和が1、積が $-2$ であることを確かめれば、符号を誤った $-2,1$ という根を検出できる。

凸性から積分の上下を挟む

凸な微分可能関数は、区間の中点における接線以上であり、両端を結ぶ弦以下にある。$f(t)=1/t$ の中点を $m=n+1/2$ とすると $f(t)\ge f(m)+f'(m)(t-m)$。長さ1の対称区間で積分すれば接線の傾きの項が零になり、下界 $f(m)$ を得る。弦の積分は台形の面積 $\{f(n)+f(n+1)\}/2$ になる。

この二つを正の $m$ 倍して1を引くと、上界は $(2n+1)^2/\{4n(n+1)\}-1=1/\{4n(n+1)\}$ である。対数の上下が零へ収束するので、指数関数の連続性から比は $e^0=1$ へ収束する。階乗自体の漸近公式を仮定せずに証明できる。

比の展開と指数因子の検算

$\log(1+1/n)=1/n-1/(2n^2)+1/(3n^3)+O(n^{-4})$ を用いると、対数の比は $1/(12n^2)+O(n^{-3})$ となる。比が1より少し大きく、二次の速さで1へ近付くことは、凸性の評価とも整合する。例えば $n=1$ の比は $2\sqrt2/e\simeq1.0405$ である。

$e^{-n}$ と $e^{-(n+1)}$ の割り算を誤り、比の前の $e^{-1}$ を落とすと、極限を $e$ としてしまう。階乗比 $n!/(n+1)!=1/(n+1)$、べきの比、指数の比を一つずつ書いて整理する。また比の極限が1という結果だけから、$a_n$ 自体の極限値が1と結論することはできない。問われている対象を区別する。