東大 工学系研究科 数学 2022年度 院試 過去問 解答例・解説（解説6項目）

陰関数の勾配と接線の条件

$F(x,y)=x^2/a^2+y^2/b^2-1$ とすると、曲線上の微小変位は $dF=F_xdx+F_ydy=0$ を満たす。このため勾配 $(2X/a^2,2Y/b^2)$ は接線に垂直であり、接線は $X(x-X)/a^2+Y(y-Y)/b^2=0$ と書ける。楕円上では勾配は零にならず、特に本問の $Y>0$ により傾きの式でも零除算がない。

接点を代入すると右辺1が再現される。切片は $y=0$ で $x=a^2/X>0$、$x=0$ で $y=b^2/Y>0$ となる。第一象限という条件により、後の線分は両正軸の間の有限な線分であり、回転体の高さ・半径も正になる。図は楕円と接線の位置関係を示す自作の模式図である。

円の場合への極限と誤った法線

仮に $a,b$ を等しい半径 $r$ へ近付けると、接線式は $Xx+Yy=r^2$ になり、円の接線の公式へ戻る。異なる軸長の場合は、それぞれの二乗で割る重みを残す必要がある。

円の式をそのまま使って接線の傾きを $-X/Y$ とすると、例えば $a=2,b=1,X=\sqrt2,Y=1/\sqrt2$ で誤った傾きは $-2$、正しくは $-1/2$ になる。二つは大きく異なる。また接線式の右辺を0とすると、接点を代入した左辺が1になって一致しない。勾配で方向を確認し、接点で定数を確認する。

二乗した長さの最小化

二つの交点は $(a^2/X,0)$ と $(0,b^2/Y)$ なので、距離の二乗は二つの切片の二乗和になる。長さは正であり、平方根は単調に増えるため、$L$ の代わりに $L^2$ を最小化してよい。楕円を三角関数で表示することで、接点が楕円上という制約を常に満たせる。

上の不等式は、ベクトル $(a/\sqrt t,b/\sqrt{1-t})$ と $(\sqrt t,\sqrt{1-t})$ にコーシー・シュワルツを適用したものである。内積が $a+b$、後者の二乗ノルムが1なので下界を得る。等号は二本が比例するときで、答案の $t$ は $a,b>0$ により確かに $(0,1)$ に入る。

微分と端の発散による確認

$L^2(t)=a^2/t+b^2/(1-t)$ を微分すると $-a^2/t^2+b^2/(1-t)^2$ で、零となるのは $t=a/(a+b)$。二階微分は $2a^2/t^3+2b^2/(1-t)^3>0$ である。また両端では長さが発散するため、得られた点が全体の一意な最小点になる。

最短時の切片は $h_1=\sqrt{a(a+b)}$、$r_1=\sqrt{b(a+b)}$。従って $h_1^2+r_1^2=(a+b)^2$ と直接確かめられる。$\theta=\pi/4$ と機械的に選ぶと $L^2=2(a^2+b^2)$ となり、下界との差は $(a-b)^2>0$ になる。$a>b$ の楕円では角度45度は最短条件を満たさない。

全表面積という制約を式にする

直円錐の側面積は $\pi r\ell$、底面積は $\pi r^2$ なので合計が $\pi r(r+\ell)$ である。高さ $h$ は直角三角形から $h=\sqrt{\ell^2-r^2}$、体積は $\pi r^2h/3$ になる。非退化な円錐では $r>0,h>0$、従って $k>1$ である。

表面積を固定したまま $r,\ell,h$ を独立に動かすことはできない。$k$ を一つ選ぶと半径が $r^2=\Sigma/\{\pi(1+k)\}$ に決まり、そこから高さも決まる。この関係を体積へ代入すると、尺度 $\Sigma^{3/2}$ と形だけの変数 $k$ を分離できる。

停留点が全体の最大である理由

$(k-1)/(k+1)^2$ は $1<k<3$ で増え、$k>3$ で減る。$k\to1^+$ では高さが零に近付くため体積も零、$k\to\infty$ でも固定面積の下で半径が細くなり体積は零へ近付く。このため $k=3$ が一意な全体の最大であり、単なる停留点の計算にとどまらない。

その形では $\ell=3r,h=2\sqrt2r$、全表面積は $4\pi r^2$ なので、底面積は必ず全体の $1/4$ になる。最後に $\Sigma$ を $C_1$ の寸法へ戻すと、比は $(1+\ell_1/r_1)/4$ となり、答案の式を得る。比が無次元で、$a,b$ を同時に拡大しても変わらないことが検算になる。

最大形との一致と底面の数え落とし

$a=8b$ なら $\ell_1/r_1=\sqrt{(a+b)/b}=3$ なので、最初の円錐 $C_1$ 自体が最大形であり、答えは $S_2/S_1=1$ になる。原題の $a>b>0$ の範囲内で確認できる具体例である。

底面を忘れて $\Sigma=\pi r\ell$ と置くと、最適化する因子が $(k^2-1)/k^3$ に変わり、誤った最適条件 $k=\sqrt3$ を得る。これは別の制約の問題を解いている。側面と底面を区別した記号 $\Sigma,S_1,S_2$ を用い、与えられた等表面積に何を含むかを初めに固定する。