東大 工学系研究科 数学 2026年度 院試 過去問 解答例・解説（解説6項目）

特性方程式を使う理由

微分演算子を $D=d/dx$ とすると、$De^{rx}=re^{rx}$ なので、定数係数多項式 $P(D)$ について $P(D)e^{rx}=P(r)e^{rx}$ が成り立つ。本問では $P(r)=r^2+6r+8$ である。この等式は、係数が $x$ に依存しないことに支えられている。特性根が異なるので二つの指数関数は線形独立であり、二階の同次方程式の解空間を張る。

非同次方程式では、一つの特解と任意の同次解を足せばよい。実際、線形性から $P(D)(y_p+y_h)=3e^{-x}+0$ であり、逆に二つの特解の差には $P(D)(y_{p,1}-y_{p,2})=0$ が成り立つ。これが答案の形で全解を尽くす理由である。

指数関数の特解と共鳴

右辺が $be^{ax}$ なら、$P(a)\ne0$ の場合に $be^{ax}/P(a)$ が特解となる。本問は $a=-1$、$P(-1)=3\ne0$ なので、そのまま使える。$a$ が特性根なら分母が零となり、$xe^{ax}$ などを試す必要がある。条件の確認をせずに形だけ覚えて使わない。

代入による確かめと誤答

$e^{-2x}$ と $e^{-4x}$ の左辺はそれぞれ $(4-12+8)e^{-2x}=0$、$(16-24+8)e^{-4x}=0$ である。特解 $e^{-x}$ の左辺は $3e^{-x}$ となる。右辺の係数をそのまま写して $y_p=3e^{-x}$ とすると、左辺は $9e^{-x}$ になり、要求される右辺の3倍になる。指数部だけでなく係数も代入して確かめる。

べき関数が適する構造

Euler型の二階方程式 $ax^2y''+bxy'+cy=0$ では、$x^m$ を微分して下がる次数を $x$ の係数が補う。そのため全項が $x^m$ の定数倍になり、$am(m-1)+bm+c=0$ という代数方程式に帰着する。$y''$ の係数が零になる $x=0$ を除けば、通常の二階方程式に直せる。

別の見方として $t=\log|x|$、$Y(t)=y(x)$ とおくと、$xy'=Y'$、$x^2y''=Y''-Y'$ である。これを使えば同次方程式は $Y''-Y'-2Y=0$ となり、特性根は $2,-1$ になる。$x>0$ と $x<0$ はこの置換で別の区間として扱うが、どちらでも $x^2,x^{-1}$ を基底にできる。

原点を含める場合

原式に $x=0$ を代入すると $y(0)=0$ が必要である。$C^2$ 級の解として原点を通過させるなら、発散する $C_2/x$ を除き、左右の $x^2$ の係数も $y''$ の連続性のため一致させる。したがって、その場合は $y=C_1x^2+x^3$ に限られる。通常点での一般解と、特異点をまたぐ滑らかな解の条件を混同しない。

検算と具体的な指数の誤り

$x^2$ なら $x^2(2)-2x^2=0$、$x^{-1}$ なら $x^2(2x^{-3})-2x^{-1}=0$、$x^3$ なら $6x^3-2x^3=4x^3$ である。$y''$ に由来する係数を $m^2$ と誤って置くと、特性方程式も解の指数も変わる。例えば $x^{-2}$ を同次解と書いた場合、左辺は $6x^{-2}-2x^{-2}=4x^{-2}\ne0$ なので解ではない。二階微分の係数は必ず $m(m-1)$ である。

係数比較が成立する条件

多項式がある開区間のすべての $x$ で零なら、各次数の係数がすべて零になる。非零の多項式は有限個の零点しかもてないためである。特定の数点で等式が合うだけでは、微分方程式の特解を得たことにはならない。

本問で係数比較を用いるのは、解の全体を多項式に制限するためではなく、次の設問で使える特解を一つ探すためである。非線形項 $-2xy^2$ があるため、二つの解の和は一般には解にならない。線形方程式の重ね合わせをここへ持ち込まない。

最高次から比較する手順

$x(2x^3-1)y'$ と $-2xy^2$ がともに $x^5$ を生む。その釣り合いが $2A_2(2-A_2)=0$ であり、候補を二つに絞る。低次項だけから先に決めようとすると、連立式が増え、$A_2=0$ の不適合を見落としやすい。得られた候補を元の式へ戻す最後の計算が必要である。

確かめと見落としやすい誤り

候補 $y=0$ は最高次だけの条件には合うが、原式の残差は $2x^2$ である。これを特解に含めると、例えば $x=1$ で左辺が2となり破綻する。また、$y^2$ の項を誤って $y$ と読めば、$y=2x^2$ の代入で $-8x^5$ が現れず、高次項が相殺しない。特解の直接代入では、微分項と二乗項の両方を追う。

逆数の置換で線形になる理由

一般のRiccati方程式 $y'=a(x)y^2+b(x)y+c(x)$ で特解 $y_p$ が一つ分かれば、$u=y-y_p$ は $u'=(2ay_p+b)u+au^2$ を満たす。定数項が消えたので、$u\ne0$ で逆数を取ると $v'+(2ay_p+b)v=-a$ という一次線形方程式になる。特解が必要なのは、この定数項を消すためである。本問では係数をまとめた結果、積の微分にそのまま直せる。

一次線形方程式 $v'+p(x)v=q(x)$ の積分因子は $\mu=\exp(\int p\,dx)$ である。なぜなら $(\mu v)'=\mu(v'+pv)$ となるからである。本問の割る前の式では $d'=8x^3-1$ を使い、積分因子の計算を $d$ にまとめている。$\int -2x\,dx=-x^2+C$ の符号が、その後の分母を決める。

特異点と延長

元の方程式の最高次微分の係数は $x=0$ と $a=2^{-1/3}$ で零になる。これらの点まで解を延ばす場合は、変形後の式だけでなく原式と連続性を確認する。例えば有限の $C\ne0$ なら上の有理式は $x=0$ で $y(0)=0$ と延長できるが、$C=0$ では $y=1/x$ となり延長できない。

$C=a^2$ のときは $x=a$ で分子・分母がともに零になる。しかし $2a^3=1$ を使うと、$x\ne a$ で $$\frac{x(2a^2x-1)}{a^2-x^2} =-\frac{2a^2x}{x+a}$$ と約分でき、$y(a)=-a^2$ へ滑らかに延長できる。$C\ne a^2$ なら $y(a)=2a^2$ である。原式はこの点で $y-2ay^2+2a^2=0$ となり、いずれの値も満たす。分母零を一律に解の終端とするのでなく、除去可能かを確かめる。

検算と置換で失う解

有理式を $N/D$、$N=2Cx^2-x$、$D=C-x^2$ とおけば、$y'=(N'D+2xN)/D^2$ である。これを(1)へ入れ、分母 $D^2$ を払うと全項が相殺する。別に $y=2x^2$ も直接代入で残差零になる。$v=1/(y-2x^2)$ と置いた後に特解を書き戻さない答案は、この解を落とす。有限の $C$ をどの値にしても有理式が区間全体で $2x^2$ になることはないので、任意定数があるだけでは補えていない。