東大 工学系研究科 数学 2021年度 院試 過去問 解答例・解説（解説8項目）

実数のべきの定義から対数微分を導く

正の底 $u(x)$ に対する実数指数 $v(x)$ のべきは $u^v=\exp(v\log u)$ と定義する。この式を連鎖律で微分すると、$(u^v)'=u^v\{v'\log u+vu'/u\}$ となる。従って底と指数の一方だけを定数のように扱うことはできない。本問では $u>0$ に加え、$x>0$ により $\log x$ も定義される。逆余弦の微分は $x=\cos u$ を微分して $1=-\sin u\,u'$ とし、$0<u<\pi/2$ における $\sin u=\sqrt{1-x^2}>0$ を使って得られる。

導関数の二項は、指数の変化 $v'=1/x$ と底の変化 $u'$ の寄与である。区間の内部では分母はいずれも零でなく、式は実数として有限である。端点0や1への極限を、そのまま端点での微分可能性と取り違えてはならない。

底がその点で1でも、底の変化は消えない

$x=\cos1$ とすると $u=1$、$y=1$ なので、正しい式は $y'=-\log(\cos1)/\sin1>0$ になる。これは $y=\exp(\log x\log u)$ の指数をその点で直接微分しても得られる。

底を定数と誤認して $y'=y\log u/x$ とすると、この点の値を0と誤る。逆に指数を定数と扱えば第一項が失われる。一般に $u(x_0)=1$ という一点での等式は、近くの全ての $x$ で $u=1$ であることを意味しない。どの関数を微分しているかを区別する。

分母の重複因子と定数による場合分け

$p\ne0$ なら分母には二重因子 $x^2$ と、異なる一次因子 $x-p$ がある。そのため部分分数を $A/x+B/x^2+D/(x-p)$ と置く。両辺に $x^2(x-p)$ を掛けると $$x^2+x+2=(A+D)x^2+(B-pA)x-pB.$$ 定数項から $B=-2/p$、一次項から $A=-(p+2)/p^2$、二次項から $D=1-A$ と順に求まる。$p=0$ ではこの計算の除算が使えず、元の三重極に戻って直接積分する必要がある。

実数上では $(\log|x-a|)'=1/(x-a)$ が $x\ne a$ で成立する。また $\int x^{-2}dx=-x^{-1}$、$\int x^{-3}dx=-x^{-2}/2$ である。原始関数は、極0と $p$ を除いた各連結区間ごとに示している。積分定数も区間ごとに異なってよい。

微分による検算と符号の誤り

$p\ne0$ の答えを微分すると、対数二項から $A/x+D/(x-p)$、有理式の項から $-2/(px^2)$ が出て、部分分数へ正確に戻る。$p=0$ の答えも微分すれば $1/x+1/x^2+2/x^3$ に戻る。

$-2/(px^2)$ の積分を $-2/(px)$ と誤ると、微分した値が正解から $4/(px^2)$ だけずれる。例えば $p=1,x=2$ で元の被積分関数は2だが、誤った原始関数の微分は3になる。また絶対値を外して $\log x$ と書くと、$x<0$ で定義される実数の原始関数を失う。$p=0$ を分母 $p$ の式へ代入する操作もできない。

逆関数の枝と積分区間を一緒に変える

$\arcsin x$ は値域 $[-\pi/2,\pi/2]$ を選んだ正弦の逆関数である。$0\le x\le\sin\theta<1$ では連続微分可能で、その導関数は $1/\sqrt{1-x^2}>0$ になる。このため置換は単調で、区間の向きは変わらない。与えられた $\theta$ の範囲が、上端を単に $\theta$ と書ける条件になっている。

$\arctan u$ の原始関数は、積の微分 $(u\arctan u)'=\arctan u+u/(1+u^2)$ から作る。余分に出た有理式を差し引き、$d\log(1+u^2)/du=2u/(1+u^2)$ を使うと答えになる。対数の中身は常に正で、下端では両項とも0である。

上端微分と小さい角度で確かめる

答えを $\theta$ で微分すると $\arctan\theta$ になる。元の積分の上端微分でも、$\cos\theta/\sqrt{1-\sin^2\theta}=1$ により同じ値になる。さらに $\theta\to0$ で $I=\theta^2/2+O(\theta^4)$ となり、$\arctan u=u+O(u^3)$ の積分と一致する。

$\theta\arctan\theta$ だけを答えると、導関数に $\theta/(1+\theta^2)$ が余り、例えば $\theta=1$ では微分が正解より $1/2$ 大きくなる。積分変数を $u$ に変えた後も上端を $\sin\theta$ のままにする誤りは、別の短い区間を積分したことになる。置換式、微小量、上下端を一組として書く。