阪大 基礎工 数理科学の院試過去問｜I・II計78問の出題傾向

阪大基礎工（大阪大学大学院基礎工学研究科）の一般選抜では、専門科目I・IIを8科目から1つ選び、IとIIで同じ科目を受験します。 この記事は、数学と統計学を出題する専門科目「数理科学」を選ぶ人に向けて、2022〜2026年度の数理科学I（各年度6問、計30問）と数理科学II（9〜10問、計48問）の出題を、公式問題と院試Hubの解答原稿から整理したものです。

問題は数理科学領域の公式ページで、年度ごとにIとIIを1冊にまとめたPDFとして公開されています。大学による解答は掲載されていません（2026年10月26日確認）。 院試Hubでは、各年度のIとIIから1問ずつ、計10問の解答を年度別ページで無料公開しています。対象の問題は無料解答の一覧で確認できます。

試験時間と解答する問題数

2027年4月入学の一般選抜は、専門科目I・II、面接、英語の外部スコアで選考しました。日程は次のとおりで、いずれも2026年8月に実施済みです。右の列は、2022〜2026年度の問題冊子の表紙にある解答指示です。

日程と科目は2027年度一般選抜要項の2・5〜7ページと、基礎工学研究科の入試情報で確認できます。要項には科目別の配点が載っていません。 2028年4月入学の詳細は2027年4月下旬頃に掲載予定とされ、出願日・試験日はまだ公表されていません。

IもIIも180分で4問を解くので、1問にかけられる時間は平均45分です。Iは必答の2問が5年間とも微分積分と線形代数で、選択の2問をどの分野で取るかが準備の中心になります。 IIは全問が選択で、毎年5〜6問は解答しません。準備では、最後まで書ける分野を4問分以上そろえることを目標にします。

募集人員・英語スコア・数学科との違い

専門科目は志望領域にかかわらず8科目から1つを選びます。要項では、数理科学の出題範囲は数学と統計学で、Iは基礎共通の必答と自由選択、IIは全問選択とされています。 数理科学Iは、基礎工の受験者全員に共通する数学の試験ではありません。電子光科学や物性物理科学を選ぶ人は、それぞれの科目のIを受けます。

数理科学領域はシステム創成専攻に属します。同専攻の募集人員は、電子光科学・システム科学・数理科学・社会システム数理の4領域を合わせて95人です。研究科全体の267人は、推薦入学など他の選抜の合格者を含む人数です。 数理科学と社会システム数理は「数理・社会」として一括で募集され、システム創成専攻では第2志望を選べません。出願後に領域を変えることもできません。

2026年4月入学では、研究科全体で志願381人、受験370人、合格309人でした（大阪大学の入試実施状況）。受験者数を合格者数で割ると約1.20倍ですが、選抜区分をまとめた研究科全体の数字で、領域別の倍率ではありません。

英語は外部スコアを提出する

英語はTOEIC L&R公開テスト（2023年6月1日以降の受験分）か、TOEFL iBT（Home Editionを含み、2024年8月1日以降の受験分）のスコアで評価します。 TOEICのIP・Speaking & Writing・Bridge、TOEFLのMyBest・ITPは使えません。TOEFLはETSからの公式スコア送付に加えて、出願時にTest Taker Score Reportの印刷物が必要です。 スコアの準備期間は英語スコアの提出スケジュールでも確認できます。

理学研究科の数学専攻とは別の試験

「阪大 数学科 院試」で調べられることが多いのは、理学研究科数学専攻の入試です。研究科が違い、問題も試験時間の構成も異なります。理学研究科の形式は阪大数学（理学研究科）の院試ガイドにまとめています。 基礎工の数理科学は、IとIIの両方に数理統計の大問がある点が特徴です。統計を学んでいない人は、選択問題をどの分野で取るかを先に決めてから過去問に入ってください。

2022〜2026年度の出題テーマ

各年度の大問のテーマを、院試Hubの解答原稿の見出しから短くまとめました。Iは第1問から第6問、IIは第1問から最後の問題までの順に並べています。

数理科学I：必答は微積分と線形代数、選択は統計2問が毎年ある

必答の第1問は微分積分、第2問は線形代数で、5年間変わっていません。第1問は極座標・ヤコビアンを使う重積分と広義積分の収束が中心で、2026年度は反復積分の値と2重積分の発散を対比させる構成でした。 第2問は、2022年度が像・核・共通部分空間の基底を求める問題で、2023〜2026年度は固有値と対角化可能性を土台に、行列のべき（2023・2026年度）、2次形式の最大最小（2024年度）、交換する行列の空間の次元（2025年度）へ進む構成でした。

選択の第3〜6問は、2022〜2024・2026年度は第3問が複素関数、第4問が常微分方程式（2023年度は積分方程式を微分方程式に直す問題）、第5・6問が数理統計という並びでした。 2025年度だけは第3問が連立の常微分方程式、第4問が三角関数系の正規直交性を扱う関数解析で、複素関数の大問がありません。複素関数だけを選択用に準備していると、この年は他の分野から2問を選ぶことになります。

Iの数理統計は、最尤推定量を求めてから不偏性・一致性・平均二乗誤差を調べる流れが中心です。台が母数に依存する分布（2022・2025年度第6問）、ガンマ分布とクラメール・ラオの下限（2023年度第5問）、群ごとに平均が違う正規モデル（2024年度第5問）、標本分散（2026年度第5問）と、扱う分布は毎年変わります。 検定と回帰は、原点を通る単回帰と片側検定（2022年度第5問）、一元配置の分散分析（2024年度第6問）、単回帰の推定誤差の共分散（2026年度第6問）で出ました。2022年度第5問と2024年度第6問は、分位点や表のデータを使う数値計算まで求めます。

数理科学II：前半が解析、後半が確率・統計

IIは前半に解析・位相・線形代数・複素関数・微分方程式、後半に確率・数理統計が並びます。確率・統計の大問は、2022年度が第6〜10問の5問、2023・2024年度が第6〜9問の4問、2025・2026年度が第7〜10問の4問でした。 5年間とも4問すべてを確率・統計から選べましたが、出題数は年度で変わっており、次の年度も同じとは限りません。

前半の解析系は証明問題が中心です。距離空間の完備性（2022年度第5問）、離散距離とコンパクト性（2023年度第2問）、連続でない関数の準位集合が閉集合になること（2025年度第6問）、連続関数の空間の部分集合が開集合か閉集合か（2026年度第1問）と、位相・距離空間は2024年度を除いて毎年出ています。 優収束定理やトネリ・フビニの定理で極限・積分の順序を入れ替える問題も、2023年度第1・4問、2024年度第2・5問、2025年度第3・5問と多く、定理の仮定を答案で確かめられるかが問われます。

後半の統計は、Iよりも理論寄りです。順序統計量の密度（2023年度第6問）、非心カイ二乗分布の単調性を使う検定の構成（2024年度第7問）、局所対立仮説での検出力（2025年度第7問）、デルタ法による漸近分布（2026年度第7問）など、分布の性質を証明してから推定・検定に使う問題が多く出ています。

解く順番と失点しやすい箇所

以下は、院試Hubの解答原稿で各設問の山場と誤答例として取り上げた箇所です。完全な解答は年度別ページと解答PDFにあり、ここでは最初に何をするかと、どこで答えがずれるかだけを示します。

数理科学I：必答2問の土台を確かめてから選択へ

Iは第1・2問が必答なので、先に必答2問の設問構成を確かめ、前の設問の結果を後の設問で使う箇所に印を付けます。2026年度第2問（線形代数、無料公開）は、与えられた行列Pで P⁻¹AP を上三角行列にする設問1が、固有値・対角化・べき乗の全設問の土台です。P⁻¹ を求めたら、AP=PB を列ごとに確かめます。 P⁻¹ の(3,1)成分を落とした誤った行列でもトレースは3αのままなので、トレースの一致だけでは誤りに気づけません。

同じ問題の設問3では、β=0 のとき固有値αが3重になります。「固有値が重なるから対角化できない」とだけ書くと証明になりません。αI のように固有値が重なっても対角行列である場合があるためで、解答原稿では B−αI がゼロ行列でないことを示して、対角化できないことを導いています。

2024年度第1問（微分積分）は、トーラスを半分にした領域の座標変換です。ヤコビアンは負の値になるので、重積分では絶対値をとります。「x≥0」の条件で回転角の範囲が半分になることを落とすと、値がちょうど2倍になります。 2025年度第2問（線形代数）は、行列Aと交換する行列全体の次元を求めます。答えは固有空間ごとの次元の2乗の和で、固有値の重複度を足しても求まりません。設問1で対角化できることを確かめた根拠が、この数え方を支えます。

選択の複素関数では、2026年度第3問のように z=eⁱˣ で単位円上の積分に直した後、どの極が円の内側にあるかを a の範囲ごとに判断します。極 ai と i/a は 0<a<1 と a>1 で内外が入れ替わります。 a>1 でも ai を内側に数えると、|cos 2x|≤1 から見積もれる積分の上限を超える値が出るので、見積もりと比べれば誤りに気づけます。同じ問題の設問3は答えが0になりますが、「分子が奇関数だから」という理由は誤りです。x を −x にすると分母の sin x も符号を変えるからです。

数理統計で最尤推定量を求める大問（2022・2025年度第6問、2023年度第6問、2024年度第5問）は、設問1で求めた推定量を後の設問ですべて使うので、最初の設問でつまずくと残りが止まります。2022年度第6問と2025年度第6問（どちらも無料公開）は、母数が分布の台の端にあるため、対数尤度を微分して0とおく方法では最尤推定量が求まりません。尤度を母数の関数として書き、どこで最大になるかを形から判断します。 2024年度第6問の分散分析では、水準間平方和の期待値に (p−1)σₑ² が加わることと、A1とA4のデータだけを使うt検定の自由度が 3+3−2=4 になることが判定を左右します。

数理科学II：全問を読んでから4問を決める

IIでは、解き始める前に全問の設問を最後まで読み、最後の設問まで道筋が見える4問を選びます。証明問題では、使う定義を答案の最初に書くと、確かめる条件がはっきりします。 2023年度第8問（密度推定量）は、窓幅 hₙ の推定量が一致推定量になる条件を示します。偏りを消す hₙ→0 と、分散を消す nhₙ→∞ の両方が必要で、hₙ→0 だけを示した答案は不十分です（hₙ=1/n が反例になります）。分散の計算で n で割るのを忘れると、分散を n 倍に見積もることになります。

2024年度第9問（ベルンシュタイン多項式）は、δ を ε だけで決め、n をその後で大きくする順序が要点です。δ=1/√n のように n とともに小さくすると、チェビシェフの不等式から得た評価 M/(nδ²) が M のまま減りません。 2023年度第3問と2025年度第2問は、多価関数 zᵃ⁻¹ を含む積分を留数定理で求めます。枝の取り方に従って z=−1 の偏角を π とします。−π とすると留数の値が変わり、正の関数の積分が負になる場合もあるので、符号で検算できます。

2026年度第10問（幾何分布、無料公開）では、不偏推定量 (n−1)/(n−1+Yₙ) と最尤推定量 n/(n+Yₙ) の形が似ています。Yₙ をその期待値に置き換えて不偏性を判定するのは誤りで、E[g(Y)] と g(E[Y]) は一般に一致しません。 最尤推定量は各 n で上に偏りますが、その偏りは n→∞ で0に近づき、一致推定量になります。2026年度第6問（測度論）では、各点収束から測度収束を導く設問1で [0,1] の測度が有限であることを使います。有限でない測度では成り立たない主張なので、仮定をどこで使ったかを答案に書きます。

分野別の練習と参考書

出題の多い分野ごとに、過去問のどの問題で何を練習するかをまとめます。Iの選択とIIの4問を同じ分野でそろえると、準備の重複が減ります。

参考書は、過去問で止まった論点に戻るために使います。広義積分と重積分の変数変換は杉浦光夫『解析入門I』、固有空間と対角化可能性は齋藤正彦『線型代数入門』で確認できます。 統計は久保川達也『現代数理統計学の基礎』の点推定・検定の範囲が、Iの第5・6問とIIの後半に対応します。IIの優収束定理や測度収束で定理の仮定があいまいなら、伊藤清三『ルベーグ積分入門』で収束定理の条件を確かめてから解き直してください。

統計で選択問題を取る場合、最尤推定量を求める計算に加えて、チェビシェフの不等式で一致性を示す型、平均二乗誤差を分散と偏りの2乗に分ける型、期待値を積分で計算して不偏性を判定する型の3つを、5年分の問題で一通り書けるようにします。この3つの型は、Iの第5・6問とIIの後半の両方に繰り返し出ています。

無料解答と解答PDFの使い方

次の10問は、年度別ページで解答と考え方を無料で読めます。自分で解いた後に、最終答だけでなく途中で使った定理の仮定まで照合してください。

販売している解答・解説PDFは、数理科学Iが2022〜2026年度の30大問・89設問（122ページ）、数理科学IIが同じ5年度の48大問・152設問（179ページ）で、価格は各2,880円です。 選択問題も含めて全大問を解説しているので、本番で選ばなかった分野の問題も確認できます。各設問で定義と定理の成立条件、導出、検算、具体的な誤答を説明しています。問題本文は収録していないため、公式PDFと並べて使います。

演習では、まず1年度分を180分で解き、Iなら必答2問と選んだ2問、IIなら選んだ4問について、最後まで書けた設問と途中で止まった設問を分けて記録します。止まった設問は、解説の山場の説明を読んでから解答を閉じて書き直します。 選ばなかった問題は、翌日以降に分野別の練習として使えます。収録年度は2022〜2026年度で、2026年8月に実施された2027年4月入学の一般選抜の問題は含みません。

日程・募集人員・英語の条件は阪大基礎工の入試情報のページに、他の領域の公式過去問は阪大の研究科別過去問一覧にまとめています。 同じシステム創成専攻の専門科目は電子光科学のガイド、他大学から受験する場合の書類や研究科別の倍率は阪大の外部受験のページで確認できます。