阪大 基礎工学研究科 システム創成専攻 数理科学II 2025年度 院試 過去問 解答例・解説（解説10項目）

設問1　$d$ は $S$ 上の距離

距離の定義は、(i)$d\ge0$ かつ $d(x,y)=0\iff x=y$、(ii)$d(x,y)=d(y,x)$、(iii)$d(x,z)\le d(x,y)+d(y,z)$ の3つで、先に $d$ が $S\times S$ から $\mathbb R$ への写像として意味をもつこと（値が有限）が前提になる。無限級数の和は発散することがあるので、級数が収束することの確認が、最初の一歩になる。$S$ が絶対収束する数列の集合であることは、この収束を保証するために使われている。

$d$ の重み $\frac1n$ は、通常の距離 $\|\boldsymbol x-\boldsymbol y\|_1=\sum|x_n-y_n|$ より弱い距離を作る。$d(\boldsymbol x,\boldsymbol y)\le\|\boldsymbol x-\boldsymbol y\|_1$ なので、$\|\cdot\|_1$ で近い数列は $d$ でも近いが、逆は成り立たない。たとえば $\boldsymbol x_n=2^{-n}$ と $\boldsymbol y=\mathbf 0$ では、$d(\boldsymbol x,\mathbf 0)=\sum_{n\ge1}\frac{2^{-n}}n=\log2=0.6931$ で、$\|\boldsymbol x\|_1=1$ より小さい。設問3と4は、この2つの距離の違いに関わる。

答案で起こりやすい誤りは、(i)の「$d=0\Rightarrow\boldsymbol x=\boldsymbol y$」で、各項が非負であることに触れずに「和が $0$ だから」とだけ書くことである。非負でない項が混じると、和が $0$ でも各項が $0$ とは限らない。また、三角不等式で級数の収束を断らずに項ごとの不等式を足すと、$\infty\le\infty$ のような意味のない式になる。有限の台をもつ数列から無作為に選んだ3つ組を5000通り、有理数の厳密計算で調べたが、距離の公理を破るものはなかった。

設問2　$f$ は連続

距離空間 $(S,d)$ 上の関数 $f$ が点 $\boldsymbol x_0$ で連続であるとは、任意の $\varepsilon>0$ に対し、ある $\delta>0$ が存在して、$d(\boldsymbol x,\boldsymbol x_0)<\delta$ ならば $|f(\boldsymbol x)-f(\boldsymbol x_0)|<\varepsilon$ となることをいう。ここでは $\delta$ が $\boldsymbol x_0$ にも依存せず $\varepsilon$ に取れるので、一様連続でもある。

証明の核は、$d$ の1項だけを残す不等式である。同じ手順を第 $n$ 項に使うと、一般に $|x_n-y_n|\le n\,d(\boldsymbol x,\boldsymbol y)$（$n$ 番目の座標を取り出す関数は、リプシッツ定数 $n$ で連続）が得られる。この不等式は設問4で使う。有限台の数列の無作為な組5000通りで $|x_1-y_1|\le d(\boldsymbol x,\boldsymbol y)$ と $|x_n-y_n|\le n\,d(\boldsymbol x,\boldsymbol y)$ $(1\le n\le12)$ を確かめ、反例はなかった。

ここで使うのは距離 $d$ であることに注意する。$|f(\boldsymbol x)-f(\boldsymbol y)|\le\|\boldsymbol x-\boldsymbol y\|_1$ も成り立つが、これは $\|\cdot\|_1$ に関する連続性を示すだけで、$d$ に関する連続性は示さない。$d\le\|\cdot\|_1$ なので、$d$ に関して連続であるほうが強い主張になる。

設問3　$g$ は連続でない

距離空間では、連続性は点列で言い換えられる。$f$ が $\boldsymbol x_0$ で連続であることは、$\boldsymbol x_0$ に収束する全ての点列 $\boldsymbol x_k$ で $f(\boldsymbol x_k)\to f(\boldsymbol x_0)$ が成り立つことと同値である。したがって、不連続性の証明では、$\boldsymbol x_0$ に収束するのに像が収束しない点列を1つ挙げれば足りる。

原因は、重み $\frac1n$ が遠くの座標を割り引くことである。$\boldsymbol e_k$ は「質量 $1$ を第 $k$ 項に置いた数列」で、$k$ が大きいほど質量が遠くへ逃げる。$d$ は第 $k$ 項の違いを $\frac1k$ に縮めて測るので、質量が逃げると $d$ では $\mathbf 0$ に近づく。$g$ は質量の総量を測るので、逃げても $1$ のままである。通常のノルム $\|\cdot\|_1$ では $\|\boldsymbol e_k-\mathbf 0\|_1=1$ で、$\boldsymbol e_k$ は $\mathbf 0$ に近づかず、$g(\boldsymbol x)=\|\boldsymbol x\|_1$ は連続である（$|g(\boldsymbol x)-g(\boldsymbol y)|\le\|\boldsymbol x-\boldsymbol y\|_1$）。$d$ を使うことで連続性が失われる。

別の例でも同じことが起こる。$\boldsymbol x=(\frac12,0,0,\dots)$ に $5\boldsymbol e_k$ を加えた点列は、$k=10,\ 50,\ 500$ で $d=0.5,\ 0.1,\ 0.01$ と近づくが、$g=5.5$ のままで、$g(\boldsymbol x)=0.5$ には近づかない。

誤りとして、「$g=\sum|x_n|$ は連続関数 $|x_n|$（設問2と同様に連続）の和だから連続」と書くものがある。連続関数の無限和は、収束が一様でない限り連続になるとは限らない。ここでは、残りの項 $\sum_{n>N}|x_n|$ が $\boldsymbol x$ に関して一様に小さくならない。その反例が、まさに $\boldsymbol e_k$（$N<k$ なら残りの和が $1$）である。

設問4　$T=\{g\le1\}$ は閉集合

「$T=g^{-1}([0,1])$ で $g$ は連続だから閉集合」という標準の論法は、設問3で見たとおり $g$ が連続でないために使えない。連続関数による閉集合の逆像は閉集合になるが、連続でない関数では一般に成り立たない。答案ではこの論法を取れないことを自覚し、$g$ を連続な $h_N$ の上限として扱って、準位集合を $h_N$ の準位集合の共通部分に分解するのが、上の解答の方針である。

点列を使う書き方もある。$T$ の点列 $\boldsymbol x^{(k)}$ が $d$ に関して $\boldsymbol x\in S$ に収束するとする。設問2の不等式から各座標が収束し、$x^{(k)}_n\to x_n$ なので $h_N(\boldsymbol x)=\lim_kh_N(\boldsymbol x^{(k)})\le1$（各 $k$ で $h_N(\boldsymbol x^{(k)})\le g(\boldsymbol x^{(k)})\le1$）となる。$N$ は任意なので $g(\boldsymbol x)=\sup_Nh_N(\boldsymbol x)\le1$ で、$\boldsymbol x\in T$ である。

$g$ は連続関数 $h_N$ の上限で、このような関数は下半連続といい、準位集合 $\{g\le c\}$ が閉集合になる。一方、$\{g<1\}$ は開集合でない。$\boldsymbol x=(\frac12,0,0,\dots)$ は $g(\boldsymbol x)=\frac12<1$ だが、半径 $0.1$ の球には $\boldsymbol x+5\boldsymbol e_k$（$k\ge51$、$d=5/k<0.1$）が入り、その $g$ は $5.5>1$ である。$k=51,\dots,99$ の $49$ 個の点で確かめた。$\{g<1\}$ が開集合にならないのは、距離 $d$ のもとで $g$ が連続でないことの、もう1つの現れである。

極限を扱うときは、不等号の向きを確かめる。$g(\boldsymbol x)=\lim_kg(\boldsymbol x^{(k)})$ とは書けず、$g(\boldsymbol x)\le\liminf_kg(\boldsymbol x^{(k)})$（下半連続性）が成り立つ。$T$ の点列では $g(\boldsymbol x^{(k)})\le1$ なので、$g(\boldsymbol x)\le1$ に至る。反対の不等号は一般には成り立たない。$\boldsymbol e_k\to\mathbf 0$ では $g(\mathbf 0)=0<1=\liminf g(\boldsymbol e_k)$ と、不等号が真に成り立つ。