阪大 基礎工学研究科 システム創成専攻 数理科学II 院試過去問の解答・解説集

阪大 数理科学IIの設問の主題と、解説で扱う内容を実施回ごとにまとめています。 微分積分・解析・確率・統計は以下の5回すべてで扱っています。

1. 2026年度解説10項目連続関数の空間の部分集合は開か閉か／関数の下限と、下限に収束する数列／固有ベクトルによる分解と行列のべき／複素係数多項式の空間の内積と、留数による線型写像／超線形に増加する関数の最小値と導関数の全単射／各点収束・測度収束と有界化した積分／平均と分散が等しい正規分布の最尤推定と漸近分布／標本の最大値の偏りと一致性／一様分布の最小値・最大値による検定／幾何分布の成功確率の不偏推定量と最尤推定量

   • 第1問 微分積分・解析連続関数の空間の部分集合は開か閉か
   • 第2問 微分積分・解析関数の下限と、下限に収束する数列
   • 第3問 線形代数固有ベクトルによる分解と行列のべき
   • 第4問 数学複素係数多項式の空間の内積と、留数による線型写像
   • 第5問 微分積分・解析超線形に増加する関数の最小値と導関数の全単射
   • 第6問 微分積分・解析各点収束・測度収束と有界化した積分
   • 第7問平均と分散が等しい正規分布の最尤推定と漸近分布
   • 第8問標本の最大値の偏りと一致性
   • 第9問 確率・統計一様分布の最小値・最大値による検定
   • 第10問 確率・統計幾何分布の成功確率の不偏推定量と最尤推定量
2. 2025年度解説10項目波動方程式の変数変換とダランベールの公式／鍵穴型の積分路と広義積分 ∫_0^∞ x^a-1(1+x)^-ndx／指数型関数の積分の評価と優収束定理／部分空間の共通部分と固有値の最小最大原理／ラプラス型の積分、積分順序の交換とディリクレ積分／絶対収束数列の空間と、連続でない関数の閉じた準位集合／正規母集団の平均の検定と検出力／2次元正規分布、標本相関係数と信頼区間／指数分布の最尤推定量と、丸めた観測による推定量の一致性／中央値が絶対偏差の期待値を最小にする

   • 第1問 微分方程式波動方程式の変数変換とダランベールの公式
   • 第2問 数学鍵穴型の積分路と広義積分 ∫_0^∞ x^a-1(1+x)^-ndx
   • 第3問 微分積分・解析指数型関数の積分の評価と優収束定理
   • 第4問 線形代数部分空間の共通部分と固有値の最小最大原理
   • 第5問 微分積分・解析ラプラス型の積分、積分順序の交換とディリクレ積分
   • 第6問 位相・幾何絶対収束数列の空間と、連続でない関数の閉じた準位集合
   • 第7問 確率・統計正規母集団の平均の検定と検出力
   • 第8問2次元正規分布、標本相関係数と信頼区間
   • 第9問 確率・統計指数分布の最尤推定量と、丸めた観測による推定量の一致性
   • 第10問中央値が絶対偏差の期待値を最小にする
3. 2024年度解説9項目べき乗法（優越固有値の固有ベクトルへの収束）／広義積分 ∫_0^∞\bigl(x^α-1-(x+1)^α-1\bigr)dx とガンマ関数／数列空間 \ell^2 の内積不等式と、弱収束とノルム収束から強収束／ピカールの逐次近似と大域解の存在／優収束定理による二重積分の極限／ラプラス分布の位置母数、順序統計量と最尤推定量、不偏性／非心カイ二乗分布の分布関数と、円板に関する検定の構成／非対称なラプラス型分布の標本平均（不偏性・偏り・一致性）／ベルヌーイ標本平均によるベルンシュタイン多項式と一様収束

   • 第1問 線形代数べき乗法（優越固有値の固有ベクトルへの収束）
   • 第2問 微分積分・解析広義積分 ∫_0^∞\bigl(x^α-1-(x+1)^α-1\bigr)dx とガンマ関数
   • 第3問 微分積分・解析数列空間 \ell^2 の内積不等式と、弱収束とノルム収束から強収束
   • 第4問 微分方程式ピカールの逐次近似と大域解の存在
   • 第5問 微分積分・解析優収束定理による二重積分の極限
   • 第6問 確率・統計ラプラス分布の位置母数、順序統計量と最尤推定量、不偏性
   • 第7問 確率・統計非心カイ二乗分布の分布関数と、円板に関する検定の構成
   • 第8問 微分積分・解析非対称なラプラス型分布の標本平均（不偏性・偏り・一致性）
   • 第9問 確率・統計ベルヌーイ標本平均によるベルンシュタイン多項式と一様収束
4. 2023年度解説9項目平行移動した可積分関数と、無限遠で消える関数の積の積分／離散距離の開集合と、コンパクト空間からの連続写像／切れ目に沿う2本の半直線と留数定理による実積分の計算／矩形の窓による移動平均と、窓を狭めたときの収束／縮小写像の反復と、微分方程式の解の級数表示／順序統計量の密度関数と、期待値の積分表示・極限／打ち切られた指数分布の平均と、λ の一致推定量／窓幅 h の密度推定量の平均・分散と、一致性の条件／独立な確率変数の和のキュムラント母関数と、4次キュムラントの不等式

   • 第1問 微分積分・解析平行移動した可積分関数と、無限遠で消える関数の積の積分
   • 第2問 位相・幾何離散距離の開集合と、コンパクト空間からの連続写像
   • 第3問 数学切れ目に沿う2本の半直線と留数定理による実積分の計算
   • 第4問 微分積分・解析矩形の窓による移動平均と、窓を狭めたときの収束
   • 第5問 微分方程式縮小写像の反復と、微分方程式の解の級数表示
   • 第6問 数学順序統計量の密度関数と、期待値の積分表示・極限
   • 第7問 確率・統計打ち切られた指数分布の平均と、λ の一致推定量
   • 第8問 確率・統計窓幅 h の密度推定量の平均・分散と、一致性の条件
   • 第9問 確率・統計独立な確率変数の和のキュムラント母関数と、4次キュムラントの不等式
5. 2022年度解説10項目広義積分 ∫_0^∞ x^-α(1+x)^-\betadx の収束条件と対数因子の働き／下限を含むパラメータ付き広義積分の微分と、漸化式による ∫_1^∞(x^3+1)^-3dx／優級数による級数の収束と、∑ g_n(π/2)/n! の値／作用素ノルムが定める距離と、ノイマン級数による (I-A)^-1／(-1,1) の完備でない距離と、tan で引き戻した完備な距離／確率有界性とマルコフの不等式・確率収束・2点分布の例／三項分布の条件付き分布と、条件付き期待値による推定量の改良／有意になった標本だけを選んだ後の条件付き分布と、条件付き検定の棄却点／ポアソン分布の標準偏差 β=\sqrtλ の最尤推定量と、その偏り／標本平均を原点の近くで縮める推定量の二乗誤差の極限（ホッジス型）

   • 第1問 微分積分・解析広義積分 ∫_0^∞ x^-α(1+x)^-\betadx の収束条件と対数因子の働き
   • 第2問 微分積分・解析下限を含むパラメータ付き広義積分の微分と、漸化式による ∫_1^∞(x^3+1)^-3dx
   • 第3問 微分積分・解析優級数による級数の収束と、∑ g_n(π/2)/n! の値
   • 第4問 位相・幾何作用素ノルムが定める距離と、ノイマン級数による (I-A)^-1
   • 第5問 位相・幾何(-1,1) の完備でない距離と、tan で引き戻した完備な距離
   • 第6問 確率・統計確率有界性とマルコフの不等式・確率収束・2点分布の例
   • 第7問 確率・統計三項分布の条件付き分布と、条件付き期待値による推定量の改良
   • 第8問 確率・統計有意になった標本だけを選んだ後の条件付き分布と、条件付き検定の棄却点
   • 第9問 確率・統計ポアソン分布の標準偏差 β=\sqrtλ の最尤推定量と、その偏り
   • 第10問 数学標本平均を原点の近くで縮める推定量の二乗誤差の極限（ホッジス型）