阪大 基礎工学研究科 システム創成専攻 数理科学II 2024年度 院試 過去問 解答例・解説（解説9項目）

設問1　$\overline X_n$ は $\mu$ の不偏推定量か

$r=\sqrt{1+\mu^2}$、$s=\dfrac\mu{r+1}$、$c=\dfrac1{r+1}$ とおくと、$|\mu|<r<r+1$ より $|s|<1$ で、密度は $$f(x;\mu)=c\,e^{sx-|x|}=\begin{cases}c\,e^{-(1-s)x}&(x>0),\\ c\,e^{(1+s)x}&(x<0)\end{cases}$$ である。$a=1-s>0$、$b=1+s>0$ とおく。また $(r+1)^2-\mu^2=r^2+2r+1-\mu^2=2(r+1)$ なので $$1-s^2=\frac{(r+1)^2-\mu^2}{(r+1)^2}=\frac2{r+1}=2c .$$ 正規化の確認：$\int_0^\infty e^{-ax}dx=\frac1a$、$\int_{-\infty}^0e^{bx}dx=\frac1b$ より、$\int f\,dx=c\bigl(\frac1a+\frac1b\bigr)=c\cdot\frac{a+b}{ab}=c\cdot\frac2{1-s^2}=1$ である。

期待値を求める。$\int_0^\infty xe^{-ax}dx=\frac1{a^2}$ と、$x=-y$ の置換による $\int_{-\infty}^0xe^{bx}dx=-\frac1{b^2}$ から、$E|X|<\infty$ で $$E[X_i]=c\Bigl(\frac1{a^2}-\frac1{b^2}\Bigr)=c\,\frac{(b-a)(b+a)}{(ab)^2}=c\,\frac{2s\cdot2}{(1-s^2)^2}=\frac{2s}{1-s^2}\quad(c=\tfrac{1-s^2}2\text{ を使った}).$$ $\dfrac{2s}{1-s^2}=s(r+1)=\mu$ なので、$E[X_i]=\mu$ である。期待値の線形性より $$E[\overline X_n]=\frac1n\sum_{i=1}^nE[X_i]=\mu .$$

設問2　$(\overline X_n)^2$ は $\mu^2$ の不偏推定量か

$\sigma^2=\mathrm{Var}(X_i)$ とおく。$X_1,\dots,X_n$ は独立同分布なので $\mathrm{Var}(\overline X_n)=\sigma^2/n$ で、設問1より $E[\overline X_n]=\mu$ だから $$E\bigl[(\overline X_n)^2\bigr]=\mathrm{Var}(\overline X_n)+\bigl(E[\overline X_n]\bigr)^2=\mu^2+\frac{\sigma^2}n .$$ $\sigma^2$ を求める。$\int_0^\infty x^2e^{-ax}dx=\frac2{a^3}$ から $$E[X^2]=c\Bigl(\frac2{a^3}+\frac2{b^3}\Bigr)=2c\,\frac{a^3+b^3}{(ab)^3} .$$ $a+b=2$、$ab=1-s^2$、$a^2+b^2=2+2s^2$ より $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)=2(1+3s^2)$ である。$c=\frac{1-s^2}2$ を使うと $$E[X^2]=\frac{4c(1+3s^2)}{(1-s^2)^3}=\frac{2(1+3s^2)}{(1-s^2)^2},\qquad\sigma^2=E[X^2]-\mu^2=\frac{2(1+3s^2)-4s^2}{(1-s^2)^2}=\frac{2(1+s^2)}{(1-s^2)^2}.$$ ここで $\mu^2=\dfrac{4s^2}{(1-s^2)^2}$（設問1の $\mu=\frac{2s}{1-s^2}$）を使った。さらに $(r+1)^2+\mu^2=2r(r+1)$ より $1+s^2=\dfrac{2r}{r+1}$、$1-s^2=\dfrac2{r+1}$ なので $$\sigma^2=\frac{2\cdot\frac{2r}{r+1}}{\frac4{(r+1)^2}}=r(r+1)=1+\mu^2+\sqrt{1+\mu^2}.$$ したがって $$E\bigl[(\overline X_n)^2\bigr]-\mu^2=\frac{1+\mu^2+\sqrt{1+\mu^2}}n>0$$ で、すべての $\mu$ と $n$ で $\mu^2$ に等しくない。

設問3　$(\overline X_n)^3$ は $\mu^3$ の一致推定量か

一致推定量とは、すべての $\mu$ で任意の $\varepsilon>0$ に対し $P(|T_n-\mu^3|\ge\varepsilon)\to0$ となる推定量である。$\mu$ を固定し、$\varepsilon>0$ をとる。関数 $x\mapsto x^3$ は $x=\mu$ で連続なので、ある $\delta>0$ が存在して $|x-\mu|<\delta\Rightarrow|x^3-\mu^3|<\varepsilon$ となる。対偶により $$\bigl\{|(\overline X_n)^3-\mu^3|\ge\varepsilon\bigr\}\subset\bigl\{|\overline X_n-\mu|\ge\delta\bigr\}.$$ チェビシェフの不等式（$E[\overline X_n]=\mu$、$\mathrm{Var}(\overline X_n)=\sigma^2/n$、$\sigma^2<\infty$ は設問2）より $$P\bigl(|(\overline X_n)^3-\mu^3|\ge\varepsilon\bigr)\le P\bigl(|\overline X_n-\mu|\ge\delta\bigr)\le\frac{\sigma^2}{n\delta^2}\xrightarrow[n\to\infty]{}0 .$$ よって $(\overline X_n)^3$ は $\mu^3$ に確率収束する。