阪大 基礎工学研究科 システム創成専攻 数理科学II 2026年度 院試 過去問 解答例・解説（解説10項目）

不偏性と、確率関数の和の恒等式

推定量 $T$ が $\theta$ の不偏推定量であるとは、母数の範囲 $0<\theta<1$ のすべての値で $E_\theta[T]=\theta$ となることをいう。離散分布の期待値は $E[g(Y)]=\sum_yg(y)P(Y=y)$ で、$g(y)=\frac{n-1}{n-1+y}$ の係数が組合せ数 $\frac{(n+y-1)!}{y!(n-1)!}$ の因数 $(n+y-1)$ を消し、指数 $n$ を $n-1$ に下げる。その結果、和が1つ下の $n-1$ の負の二項分布の確率の総和に変わる。$n\ge2$ の仮定は、分母 $n-1+Y_n$ が $0$ にならないことと、階乗 $(n-2)!$ が定義されることのために要る。

$n=2$ での直接確認

$n=2$ では $P(Y_2=y)=(y+1)\theta^2q^y$ で、$\widetilde\theta_2=\frac1{1+Y_2}$ なので $$E[\widetilde\theta_2]=\sum_{y=0}^\infty\frac1{1+y}(y+1)\theta^2q^y=\theta^2\sum_{y=0}^\infty q^y=\frac{\theta^2}{1-q}=\theta .$$ $n=2,3,5,10$ と $\theta=0.1,0.3,0.5,0.9$ の16通りで、確率関数を足して数値的に（$10^{-34}$ の精度で）確かめても、期待値は $\theta$ と一致した。

最尤推定量との違い

$\frac{n-1}{n-1+y}\le\frac n{n+y}$（$y>0$ では真の不等号）なので、$\widetilde\theta_n$ は最尤推定量 $\widehat\theta_n=\frac n{n+Y_n}$ 以下である。$E[\widetilde\theta_n]=\theta$ なので、設問2の $E[\widehat\theta_n]$ は $\theta$ より大きいことになる。最尤推定量の分子と分母の $n$ を $n-1$ に取り替えることで、偏りが消える。

$Y_n$ を期待値 $E[Y_n]=\frac{n(1-\theta)}\theta$ に置き換えて $E[\widetilde\theta_n]=\frac{n-1}{n-1+E[Y_n]}$ とする誤りがある。この値は $\frac{(n-1)\theta}{n-\theta}$ で、$\theta$ に一致しない。$n=2$、$\theta=0.5$ では $\frac13$、$n=5$、$\theta=0.3$ では $\frac{12}{47}\approx0.255$、$n=10$、$\theta=0.1$ では $\frac1{11}\approx0.091$ となる。$E[g(Y)]\ne g(E[Y])$ で、$g(y)=\frac{n-1}{n-1+y}$ が凸関数であることから、期待値は $g(E[Y])$ より大きくなる。また $\widehat\theta_n$（分子が $n$）を不偏と取り違える誤りもあり、$n=5$、$\theta=0.3$ では $E[\widehat\theta_n]=0.3447$ で、$\theta=0.3$ より大きい。

最尤推定量の定義と、幾何分布の平均・分散

最尤推定量は尤度を $0<\theta<1$ で最大にする値で、対数をとると積が和になって扱いやすい。幾何分布 $P(X=x)=\theta q^x$ では $E[X]=\sum_xx\theta q^x=\theta\cdot\frac q{(1-q)^2}=\frac q\theta$、$E[X(X-1)]=\theta\sum x(x-1)q^x=\frac{2q^2}{\theta^2}$ なので、$V[X]=\frac{2q^2}{\theta^2}+\frac q\theta-\frac{q^2}{\theta^2}=\frac q{\theta^2}$ である。この2つは、$\theta=0.2,0.5,0.8$ の確率関数の数値和でも確かめた。$\widehat\theta_n$ が標本平均の関数 $\frac1{1+\overline X_n}$ になることが解答の要点で、$g(x)=\frac1{1+x}$ は $x\ge0$ で $0<g\le1$ の有界な滑らかな関数である。

偏りは $0$ にならないが消える

$g$ は凸関数（$g''(x)=\frac2{(1+x)^3}>0$）なので、イェンセンの不等式から $E[g(\overline X_n)]>g(E[\overline X_n])=\theta$ となり、$\widehat\theta_n$ は各 $n$ で上にずれる。偏りの大きさは2次近似から $\frac12g''(\mu)V[\overline X_n]=\frac12\cdot2\theta^3\cdot\frac{1-\theta}{\theta^2n}=\frac{\theta(1-\theta)}n$ である。$\theta=0.3$ で確率関数を直接足した値は、次のとおりである。

$n$ が大きいほど2つの行が近づく。解答の上界 $\sqrt{(1-\theta)/n}$ は、$n=100$ で $0.084$ と、実際の偏り $0.0021$ より大きいが、$0$ に収束することを示すには足りる。

別の導き方

$\frac1{n+y}=\int_0^1t^{n+y-1}dt$ と二項級数 $\sum_y\binom{n+y-1}yu^y=(1-u)^{-n}$ により $$E[\widehat\theta_n]=n\theta^n\int_0^1t^{n-1}\bigl(1-qt\bigr)^{-n}dt$$ という積分表示が得られる。被積分関数の主要部分 $\bigl(\frac t{1-qt}\bigr)^n$ は $t=1$ で最大値 $\theta^{-n}$ をとり、$n$ が大きいほど $t=1$ の近くに集中する。数値積分でこの表示が $n=2,5,20$ で確率関数の和と一致することを確かめた。

$\widehat\theta_n$ が設問1の $\widetilde\theta_n$ と同じ形だから、そのまま不偏と書く誤りがある。偏りは $0$ ではなく、$\theta=0.3$ の $n=2$ では $E[\widehat\theta_2]=0.4149$ と $\theta$ を $0.1149$ 上回る。一方、不偏でないことと $\lim|E[\widehat\theta_n]-\theta|\ne0$ を取り違える答案もある。設問の量は、偏りが $n\to\infty$ で消えるかどうかで、$\theta(1-\theta)/n\to0$ により消える。極限が $0$ であることと、各 $n$ で偏りが $0$ であることは別である。

一致性とチェビシェフの不等式

推定量の列 $\widehat\theta_n$ が一致推定量であるとは、任意の $\varepsilon>0$ に対して $P(|\widehat\theta_n-\theta|\ge\varepsilon)\to0$（確率収束）となることである。チェビシェフの不等式 $P(|W-E[W]|\ge c)\le V[W]/c^2$（$c>0$）は、分散から確率を押さえる。ここでは $W=\overline X_n$、$E[W]=\mu$、$V[W]=\frac{\sigma^2}n$ で、設問2で得た「$\widehat\theta_n$ の誤差は $\overline X_n$ の誤差の $\theta$ 倍以下」により、$\widehat\theta_n$ の評価が標本平均の評価に移る。非線形な写像 $g(x)=\frac1{1+x}$ を通した誤差は、設問2の式から $|g(x)-g(\mu)|\le\theta|x-\mu|$（$x\ge0$）と評価できる。

確率の数値とチェビシェフの上界

$\theta=0.3$、$\varepsilon=0.05$ のとき、$P(|\widehat\theta_n-\theta|\ge\varepsilon)$ を確率関数から直接計算すると、$n=10,50,200,800$ でそれぞれ $0.5416,\ 0.1597,\ 0.00628,\ 1.4\times10^{-7}$ と急速に減る。チェビシェフの上界 $\frac{1-\theta}{n\varepsilon^2}=\frac{280}n$ は $n=800$ で $0.35$、$n=10^4$ で $0.028$ と粗いが、$0$ に収束する。分散の近似は、$n\,V[\widehat\theta_n]\approx\theta^2(1-\theta)$（デルタ法）である。$\theta=0.3$、$n=400$ を6000回発生させた数値実験では $n\,V[\widehat\theta_n]=0.0625$（理論値 $0.063$）で、平均は $0.3004$ だった。$\theta^2(1-\theta)$ は幾何分布のフィッシャー情報量 $\frac1{\theta^2(1-\theta)}$ の逆数と一致し、最尤推定量は漸近的に最良の分散をもつ。

不偏性・漸近不偏性・一致性の関係

設問1の $\widetilde\theta_n$ は不偏で、設問2の $\widehat\theta_n$ は不偏でないが、どちらも一致推定量である。$\widetilde\theta_n$ も同様に $|\widetilde\theta_n-\theta|\le|\widetilde\theta_n-\widehat\theta_n|+|\widehat\theta_n-\theta|$ で、第1項は $\frac{Y_n}{(n+Y_n)(n-1+Y_n)}\le\frac1n\to0$ なので一致性が従う。不偏性があれば自動的に一致するわけではなく、分散が $0$ に近づくことが別に要る。たとえば $\mathbf 1_{\{X_1=0\}}$ は $E=P(X_1=0)=\theta$ で不偏だが、$X_1$ しか使わないので $n$ を増やしても精度が上がらず、一致推定量ではない。

極限の値を取り違える誤りがある。$\overline X_n\to\mu=\frac{1-\theta}\theta$ から $\widehat\theta_n=\frac1{1+\overline X_n}$ ではなく $\frac1{\overline X_n}$ を作ると、$\frac\theta{1-\theta}$ に収束し、$\theta=0.3$ では $0.4286$ と $\theta$ に一致しない。また「$\widehat\theta_n$ は不偏でないから一致推定量ではない」とするのも誤りで、偏りが $\theta(1-\theta)/n$ で消えるうえ、分散も消える。逆に「偏りが $0$ に近づくから一致推定量」とするのも不十分で、$P(|\widehat\theta_n-\theta|\ge\varepsilon)\to0$ には、偏りに加えて分散（または確率の直接評価）が要る。