阪大 基礎工学研究科 システム創成専攻 数理科学II 2023年度 院試 過去問 解答例・解説（解説9項目）

設問1　$\sum a_jX_j$ のキュムラント母関数

独立な確率変数の積の期待値が期待値の積になること、対数が積を和に変えること、の2つがこの設問の全てである。積率母関数が積になることは、和 $X_1+X_2$ の分布が畳み込みで複雑になるのに比べ、母関数では掛け算になるという利点で、キュムラント母関数の定義 $\log M$ が選ばれた理由でもある。係数 $a_j$ は、$e^{t(a_jX_j)}=e^{(a_jt)X_j}$ と見て、$M_j$ の引数に入れる。

誤りとして、$a_j$ を $\psi_j$ の外に出して $\psi_S(t)=\sum a_j\psi_j(t)$ とするものがある。これは $\log E[e^{tX}]$ が $X$ について線形でないことを見落としている。たとえば $X\sim$ ポアソン分布（平均 $3$）、$a=\frac12$ で2次キュムラントを求めると、正しくは $\frac14\cdot3=\frac34$ だが、外に出すと $\frac12\cdot3=\frac32$ になる。

設問2　$\kappa_m(a_1,\dots,a_p)$ の表示

キュムラントの2つの性質が、この式に含まれている。独立な変数の和のキュムラントは、各キュムラントの和である（加法性：$a_j=1$ の場合）。定数倍 $aX$ の $m$ 次キュムラントは $a^m\kappa_m(X)$ である（斉次性）。$m$ 乗が現れるのは、$\psi_j(a_jt)$ を $t$ で $m$ 回微分するたびに係数 $a_j$ が1つずつ出るからである。係数が負のとき、$m$ が奇数なら項の符号が変わり、偶数なら変わらない。

ポアソン分布（平均 $\lambda$）では $\psi(t)=\lambda(e^t-1)$ なので、全ての $m$ で $\kappa_m=\lambda$ である。独立な平均 $\lambda_j$ のポアソン変数について、式は $\kappa_m(a)=\sum\lambda_ja_j^m$ となる。たとえば平均 $3$ のポアソン変数に $a=-\frac32$ を掛けた $3$ 次キュムラントは $(-\frac32)^3\cdot3=-\frac{81}8$ で、記号計算でも一致した。

ポアソン分布（平均 $3$）、正規分布 $N(1,2^2)$、ベルヌーイ分布（成功確率 $\frac13$）の3つを $a=(\frac12,-\frac32,\frac23)$ で結合すると、$\kappa_1=\frac29,\ \kappa_2=\frac{3191}{324},\ \kappa_4=\frac{6049}{34992}$ となり、$m=1,\dots,6$ で、$\psi_S$ を直接微分した値と式の値が一致した。

設問3　$\kappa_2(a_1,\dots,a_p)$ を分散で表す

$\kappa_1=E[X]$、$\kappa_2=V[X]$ が最初の2つのキュムラントで、$\kappa_3$ は3次の中心モーメント、$\kappa_4=\mu_4-3\sigma^4$（$\mu_4$ は4次の中心モーメント、$\sigma^2$ は分散）と表せる。ポアソン分布（平均 $3$）、ベルヌーイ分布（成功確率 $\frac13$）、正規分布 $N(1,2^2)$ で、これらの関係を記号計算で確かめた。たとえば $N(1,2^2)$ は $\kappa_3=\kappa_4=0$ で、3次以上のキュムラントが全て $0$ になることが正規分布の特徴である。

結果 $\sum a_j^2V[X_j]$ は、独立な確率変数の線形結合の分散を求める既知の式 $V[\sum a_jX_j]=\sum a_j^2V[X_j]$ と一致する。ポアソン（平均 $3$）、$N(1,2^2)$、ベルヌーイ（成功確率 $\frac13$）を $a=(\frac12,-\frac32,\frac23)$ で結合すると、$\frac34+9+\frac8{81}=\frac{3191}{324}=9.849$ である。$V[X_j]$ は $3,\ 4,\ \frac29$ で、$a_j^2$ は $\frac14,\ \frac94,\ \frac49$ である。

設問4　$\kappa_4$ の不等式

凸結合の性質、すなわち数 $c_0,\dots,c_p$ の重み $w_i\ge0$（和が $1$）による平均は、$c_i$ の最小値と最大値の間にあるという事実が骨格である。難所は、$\kappa_4$ の重み $a_j^4$ の和が $1$ とは限らないことである。条件 $\sum a_j^2=1$ は、2乗の和についての条件で、$4$ 乗の和ではない。$\sum a_j^4\le1$ で、等号は、全ての $a_j^2$ が $0$ か $1$ のとき、すなわち1つの $a_j=\pm1$ で他が $0$ のときに限る。それ以外では $w_0=1-\sum a_j^4>0$ となり、足りない重みを $0$ に割り当てる。不等式の両端に $0$ が入るのはこのためである。

$0$ を外せないことは例で確かめられる。積率母関数が全ての実数で存在するポアソン分布（平均 $4$）は全ての $m$ で $\kappa_m=4$ で、これを2つ、$a=(\frac1{\sqrt2},\frac1{\sqrt2})$ で結合すると $\kappa_4(a)=2\cdot\frac14\cdot4=2$ である。$\kappa_4^{(1)}=\kappa_4^{(2)}=4$ なので、$0$ を除いた下限 $\min\{4,4\}=4$ は $2$ を上回り、不等式が成り立たない。$0$ を含めた下限は $0\le2$ である。逆に上限側の例は、一様分布 $U(-1,1)$（積率母関数 $\frac{\sinh t}t$、$\kappa_4=-\frac2{15}$）を2つ、同じ $a$ で結合した場合で、$\kappa_4(a)=-\frac1{15}$ は $\max\{-\frac2{15},-\frac2{15}\}=-\frac2{15}$ を上回る。$0$ を含めた上限は $0\ge-\frac1{15}$ である。

結果の意味は、重みの2乗和を $1$ に正規化した結合では、4次キュムラントが元の値の範囲か、その範囲と $0$ の間に縮むことである。独立同分布の変数を等しい重み $\frac1{\sqrt p}$ で結合すると、$\kappa_4(a)=p\cdot\frac1{p^2}\kappa_4=\frac{\kappa_4}p$ で $0$（正規分布の値）に近づく。ポアソン（平均 $4$）の3つを $a=(\frac1{\sqrt3},\frac1{\sqrt3},\frac1{\sqrt3})$ で結合すると $\kappa_4(a)=\frac43$ で、これは中心極限定理の現れである。さらに、$p=1,\dots,6$ の範囲で $\sum a_j^2=1$ の無作為な $a$ と $\kappa_4^{(j)}\in[-5,5]$ を $200000$ 組発生させ、不等式と $\sum a_j^4\le1$ が全てで成り立つことを確かめた。

誤りとして、重みに $a_j^2$ を使い、$\kappa_4(a)=\sum a_j^2\kappa_4^{(j)}$ と書くものがある。これは $\kappa_2$ の式（設問3）の形で、$\kappa_4$ には $a_j^4$ が掛かる。上のポアソン（平均 $4$）の例では $\sum a_j^2\cdot4=4$ となり、正しい値 $2$ の倍になる。この誤りは、重みの和が $1$ に見えるので「$0$ は不要」と結論づけ、上の不等式の片側が成り立たない形の答案を生む。