阪大 基礎工学研究科 システム創成専攻 数理科学I 2024年度 院試 過去問 解答例・解説（解説6項目）

固有値の定義と固有多項式

$\lambda$ が $A$ の固有値であるとは、$A\bm x=\lambda\bm x$ を満たす $\bm x\ne\bm 0$ が存在することで、$(A-\lambda I)\bm x=\bm 0$ が非自明な解を持つことと同じである。これは $A-\lambda I$ が正則でないこと、すなわち $\det(A-\lambda I)=0$ と同値になる。3次行列では $\det(\lambda I-A)=\lambda^3-(\operatorname{tr}A)\lambda^2+c_2\lambda-\det A$ の形になり、$c_2$ は対角成分に対応する2次の主小行列式の和である。ここでは $\operatorname{tr}A=15$、$c_2=(16-1)+(28-4)+(28-4)=63$、$\det A=81$ で、$(\lambda-3)^2(\lambda-9)=\lambda^3-15\lambda^2+63\lambda-81$ と係数がすべて一致する。この3つの量は行列から直接計算できる検算になる。

$A=3I+\bm v\bm v^{\mathsf T}$ という構造

$A-3I$ は各行が $(1,-1,2)$ の定数倍になり、階数が $1$ である。連立方程式 $(A-3I)\bm x=\bm 0$ は $x-y+2z=0$ の1本だけなので、解の空間は2次元になり、固有値 $3$ の重複度が $2$ 以上であることがすぐ分かる。残る固有値は、固有値の和が $\operatorname{tr}A=15$ であることから $15-3-3=9$ と求まる。また $A\bm v=3\bm v+\bm v(\bm v^{\mathsf T}\bm v)=(3+6)\bm v=9\bm v$ だから、$\bm v$ は固有値 $9$ の固有ベクトルである。実対称行列では、固有値の重複度は固有空間の次元に等しいので、$3$ の固有空間の次元がちょうど2と分かれば、行列式の展開と同じ結論になる。

行列式の展開での誤り

余因子展開で符号を1つ誤ると、係数が崩れて固有値が整数でなくなる。たとえば第2項の符号を逆にして $(x-1)(x^2-5x)+x-4x$ とすると $x^3-6x^2+2x$ になり、固有値が $3,\ 6\pm\sqrt7$ と出る。和は $15$ でトレースと合うが、積は $3\cdot29=87$ で $\det A=81$ と合わない。固有値の和が $15$、積が $81$ になっているかを、展開の後で確かめる。

実対称行列の直交対角化

$A$ が実対称行列なら、固有値はすべて実数で、異なる固有値の固有ベクトルは互いに直交し、固有空間の次元の和が $n$ になる。このため、各固有空間から正規直交基底を選んで並べると、$Q^{\mathsf T}AQ$ が対角行列になる直交行列 $Q$ が得られる。異なる固有値の固有ベクトルが直交する理由は短い。$A\bm u=\lambda\bm u$、$A\bm w=\mu\bm w$ のとき、$\lambda(\bm u\cdot\bm w)=(A\bm u)\cdot\bm w=\bm u\cdot(A\bm w)=\mu(\bm u\cdot\bm w)$ となり、$(\lambda-\mu)\,\bm u\cdot\bm w=0$ から $\lambda\ne\mu$ なら $\bm u\cdot\bm w=0$ である。本問では $\bm w_3\cdot\bm w_1=1-1+0=0$、$\bm w_3\cdot\bm w_2=-1-1+2=0$ が確かに成り立つ。同じ固有値の中の直交性だけは自動で保証されないので、固有値 $3$ の平面の中で自分で直交する2本を選ぶ。

直交する2本を選ばなかった場合

平面 $x-y+2z=0$ の基底として $(1,1,0)^{\mathsf T}$ と $(-2,0,1)^{\mathsf T}$ を選ぶのは自然だが、内積は $-2$ で直交しない。これらを正規化して $Q$ の列にすると $Q^{\mathsf T}Q\ne I$ で、$Q^{\mathsf T}AQ$ の $(1,2)$ 成分は $3\,\bm q_1\cdot\bm q_2=-\frac{3\sqrt{10}}{5}\approx-1.90$ と $0$ にならず、対角行列にならない。直交行列を要求する設問では、この選び方の違いが答えの分かれ目になる。重複しない固有値だけなら、固有ベクトルを正規化するだけで足りる。

$Q$ の取り方の自由度

$Q$ は一意ではない。固有値 $3$ の平面の中で直交する2本の取り方は、回転の角度の分だけ無限にある。各列の符号も自由で、列の並べ方を変えれば対角成分の並びも変わる。設問が「1つ求めよ」なので、確かめた1組を示せばよい。

2次形式と固有値の関係

実対称行列 $A$ の固有値を小さい順に $\lambda_1\le\cdots\le\lambda_n$、正規直交固有ベクトルを $\bm q_1,\dots,\bm q_n$ とすると、$|\bm x|=1$ のとき $\bm x^{\mathsf T}A\bm x=\sum\lambda_ky_k^2$（$y_k=\bm q_k\cdot\bm x$、$\sum y_k^2=1$）となる。これは $y_k^2\ge0$ で和が $1$ の重みによる $\lambda_k$ の加重平均だから、$\lambda_1$ 以上 $\lambda_n$ 以下であり、等号は重みが最小（最大）の固有値の固有空間にだけ乗るときに限る。一般の $\bm x\ne\bm 0$ では比 $\bm x^{\mathsf T}A\bm x/\bm x^{\mathsf T}\bm x$（レイリー商）が $\lambda_1$ から $\lambda_n$ の間を動き、条件 $|\bm x|=1$ はこの分母を $1$ にそろえたものである。$Q$ が直交行列なので長さが変わらず、条件 $x^2+y^2+z^2=1$ は $|\bm y|=1$ のまま保たれる。これが、直交行列で変換する理由である。

なぜ最小の点が円周になるか

最大値の固有空間は1次元なので、単位ベクトルは $\pm\bm q_3$ の2本だけである。最小値の固有空間は2次元なので、その中の単位ベクトルは円周を作る。設問2で $Q$ の取り方が1通りではなかったのは、この円周の中の点の選び方に対応している。「$(1,1,0)/\sqrt2$ と $(-1,1,1)/\sqrt3$ とそれらの符号違いの計4点」と答えるのは不完全である。たとえば円周上の $x=0$ の点 $(0,2,1)/\sqrt5$ は、$x-y+2z=0$ を満たしてこれらの4点のどれとも一致しないが、$f=\frac{4\cdot4+7\cdot1-4\cdot2\cdot1}{5}=3$ となって最小値をとる。

ラグランジュの未定乗数法による別解

条件 $g=x^2+y^2+z^2-1=0$ のもとで $f$ の停留点を探す。$\nabla f=2A\bm x$、$\nabla g=2\bm x$ なので、$\nabla f=\lambda\nabla g$ は $A\bm x=\lambda\bm x$ に等しい。停留点は $A$ の単位固有ベクトルで、そこでの値は $f=\bm x^{\mathsf T}A\bm x=\lambda$ である。単位球面は有界閉集合で $f$ は連続だから最大値と最小値が存在し、それは停留点の中にある。固有値は $3$ と $9$ だけなので、最大値は $9$、最小値は $3$ と決まる。固有値 $3$ の単位固有ベクトルが円周上のすべての点であることが、点の集合を調べる手がかりになる。

球面上での値の範囲

$f=3+(x-y+2z)^2$ は、コーシー・シュワルツの不等式 $(x-y+2z)^2\le(1+1+4)(x^2+y^2+z^2)=6$ とも合い、等号は $(x,y,z)$ が $(1,-1,2)$ に平行なときである。球面上で乱数により40万点を調べたところ、$f$ の最小値は $3.000000$、最大値は $8.99999$ で、範囲 $[3,9]$ に収まった。

正規化の漏れと最小点の数え落とし

最大値をとる点を $(1,-1,2)$ のように正規化しないまま答えると、そもそも条件 $x^2+y^2+z^2=1$ を満たさない（$f(1,-1,2)=54=9\cdot6$ になる）。最大値と最小値の点を混同する、最小値の点を2点だけと答える、固有値 $9$ に対応するベクトルを $3$ の固有空間の側に入れてしまう、といった誤りもある。点の答えには、条件式を満たすかを代入で確かめる。