阪大 基礎工学研究科 システム創成専攻 数理科学I 2025年度 院試 過去問 解答例・解説（解説6項目）

使う公式

分散は $V[Y]=E[Y^2]-(E[Y])^2$ で、定数倍では $V[cY]=c^2V[Y]$ となる。独立な確率変数の和の分散は各分散の和なので $V[\overline X_n]=V[X_1]/n$ である。区間 $[0,2\theta]$ の一様分布の分散は、幅の2乗を12で割った $(2\theta)^2/12=\theta^2/3$ に等しい。解答の積分はこれを導いたものである。

ベータ分布による別の導き方

$B=M/(2\theta)$ の密度は $nb^{n-1}\ (0\le b\le1)$ で、これはベータ分布 $\mathrm{Be}(n,1)$ である。一般に $\mathrm{Be}(\alpha,\beta)$ の分散は $\frac{\alpha\beta}{(\alpha+\beta)^2(\alpha+\beta+1)}$ なので、$V[B]=\frac n{(n+1)^2(n+2)}$ となる。$T_n=\frac{n+1}n\,\theta B$ より $v_n=\bigl(\frac{n+1}n\bigr)^2\theta^2V[B]=\frac{\theta^2}{n(n+2)}$ で、解答と一致する。

オーダーの違い

$w_n$ は $1/n$ に比例するが、$v_n$ は $1/n^2$ に近い。最大値は上端 $2\theta$ のごく近くに集まる。$P(M\le2\theta(1-\delta))=(1-\delta)^n$ なので、$2\theta-M$ は $1/n$ のオーダーであり、標本平均の誤差の $1/\sqrt n$ のオーダーより小さい。比 $v_n/w_n=\frac3{n+2}$ は、$n=2$ で $\frac34$、$n=10$ で $\frac14$、$n=100$ で $\frac1{34}$ と小さくなる。

$n=1$ では $T_1=X_1=\overline X_1$ で、$v_1=w_1=\frac{\theta^2}3$ と等しい。問題が $n\ge2$ と限っているのはこのためである。$n=5,\ \theta=1$ の40万回の試行では、$V[T_5]=0.0285$（理論値 $\frac1{35}=0.02857$）、$V[\overline X_5]=0.0668$（理論値 $\frac1{15}=0.0667$）となった。

計算で起こる誤り

$V[T_n]=c\,V[\widehat\theta_n]$ と $c$ の2乗を落とすと値が変わる。$n=4$ で $V[\widehat\theta_4]=\frac{2}{75}\theta^2$ なので、正しい $v_4=\bigl(\frac54\bigr)^2\cdot\frac2{75}\theta^2=\frac1{24}\theta^2$ に対し、$c$ だけを掛けると $\frac1{30}\theta^2$ になる。また、一様分布の分散 $\theta^2/3$ を $M$ の分散としてそのまま使うのも誤りである。$M$ は $n$ 個の最大値で、$n=4$ では $V[M]=\frac{8}{75}\theta^2\approx0.107\,\theta^2$ と、$\frac{\theta^2}3$ の約3分の1である。$v_n\to0$ と不偏性から $T_n$ が $\theta$ の一致推定量であることもわかる。

不偏性は非線形な変換で保たれない

$E[T_n]=\theta$ でも $E[g(T_n)]=g(\theta)$ とは限らない。期待値は線形（和と定数倍で保たれる）だが、$\sqrt{\ }$ のような非線形な関数の中には入らないからである。凹関数 $g$ については、イェンセンの不等式 $E[g(Y)]\le g(E[Y])$ が成り立ち、$g$ が狭義凹で $Y$ が定数でないときは等号が崩れる。$\sqrt{\ }$ は狭義凹なので、$E[\sqrt{T_n}]<\sqrt{E[T_n]}=\sqrt\theta$ である。

接線の不等式で導いておく。$\mu=E[Y]>0$ とする。$(\sqrt y-\sqrt\mu)^2\ge0$ から $y+\mu\ge2\sqrt{y\mu}$、すなわち $\sqrt y\le\sqrt\mu+\frac{y-\mu}{2\sqrt\mu}$ で、等号は $y=\mu$ のときだけである。$y$ に $Y$ を入れて期待値を取ると、$E[Y-\mu]=0$ により $E[\sqrt Y]\le\sqrt\mu$ となる。$Y$ が定数でなければ、$y=\mu$ にならない確率が正で、不等号は厳密になる。解答の分散を使う論法も同じ内容である。

偏りの大きさ

偏りの向きだけでなく大きさも計算できる。$\frac{E[\sqrt{T_n}]}{\sqrt\theta}=\sqrt{1-\frac1{(2n+1)^2}}$ は $n=2$ で $\frac{2\sqrt6}5\approx0.9798$（約2\%の過小）、$n=10$ で $\approx0.99887$ であり、$n\to\infty$ で $1$ に近づく。解答の式 $V[\sqrt{T_n}]=\theta-(E\sqrt{T_n})^2$ に上の値を入れると $V[\sqrt{T_n}]=\theta-\theta\cdot\frac{4n(n+1)}{(2n+1)^2}=\frac{\theta}{(2n+1)^2}$ となり、$n$ が大きいほど偏りも分散も小さい。偏りを補正するには、$\sqrt{T_n}$ に $\frac{2n+1}{2\sqrt{n(n+1)}}$ を掛けた $$U_n=\frac{2n+1}{2\sqrt{n(n+1)}}\sqrt{T_n}$$ を使えばよく、$E[U_n]=\sqrt\theta$ となる。$n=5,\ \theta=1$ の40万回の試行では $E[\sqrt{T_5}]$ が $0.9960$ で、理論値 $\frac{2\sqrt{30}}{11}=0.99587\cdots$ と一致した。

判定を誤る論法

「$E[T_n]=\theta$ だから $E[\sqrt{T_n}]=\sqrt\theta$」と書く答案は、期待値と平方根を交換している。逆に、不等号の向きだけ覚えて凸関数と凹関数を取り違える誤りもある。$T_n^2$ なら $E[T_n^2]=\theta^2+v_n>\theta^2$ で、不等号の向きが $\sqrt{\ }$ の場合と逆になる。不偏でないことを示すには、等号が崩れる理由、つまり $T_n$ が定数でないこと（$v_n>0$）を答案に書く必要がある。