総合研究大学院大学 先端学術院 先端学術専攻 専門科目（天文科学コース） 2026年度 院試 過去問 解答例・解説（解説5項目）

複素数のべきは、絶対値と偏角に分けて考える。単位根を全て挙げるには偏角へ加える整数倍を残し、原始根では最小の周期を調べる。積の位数を示す際は、それぞれの指数の倍数でないことだけで証明を終えない。

設問1　極座標によるガウス積分

二次元で$dx\,dy=r\,dr\,d\theta$となる因子$r$は座標変換のヤコビアンである。半径$r$、厚さ$dr$、角幅$d\theta$の小領域の面積が$r\,dr\,d\theta$となる幾何学からも理解できる。$e^{-a(x^2+y^2)}$は角度に依存しないので、この座標を選ぶと半径だけの積分になる。 $x=u/\sqrt a$と置いても$I(a)=I(1)/\sqrt a$となり、得た$a$依存性を検証できる。$a$を大きくすると山が細くなり積分値が減る。ヤコビアン$r$を落とすと角度積分の後にもガウス積分が残り、上の計算を完結できない。

設問2　符号を含む尺度変換

平均は$E[Y]=aE[X]$である。分散は$\operatorname{Var}(Y)=E[(aX-a\mu)^2]=a^2\sigma^2$なので、標準偏差はその非負の平方根となる。$a<0$でも式が成り立つ点を密度変換と合わせて確認できる。例えば$a=-2$では分布が左右に反転して幅が2倍となり、標準偏差が負になることはない。 $a<0$のときに$dx=dy/a$だけを用いて積分の上下限を変えないと、確率が負になってしまう。密度の公式には絶対値を付ける。大学の解答例に記された$a\sigma$は$a>0$の場合の形であり、原題が許す負の$a$には上の補足が必要である。

設問3　独立な正規変数の和

独立性は、同時確率密度を$p_1(x_1)p_2(x_2)$と積に分ける条件である。$x_2=x$を固定すると、和が$y$となる第1変数は$x_1=y-x$であり、その全ての分け方を積分するのが畳み込みになる。 計算の中心は指数中の$x$の二次項を一つの平方へまとめることである。積分後の係数も含めて正規分布と一致する必要があり、指数だけの比較では規格化を確認できない。$\sigma_2\to0$の極限では$X_2$が$\mu_2$に固定され、$X_1$を$\mu_2$だけ平行移動した分布となる。標準偏差を$\sigma_1+\sigma_2$と足すと、この分散の計算と合わない。

設問4　独立な変数の線形結合

平均の線形性には独立性は不要だが、分散の加法性には共分散の扱いが必要である。$\delta X_i=X_i-\mu_i$とすると $$\operatorname{Var}\!\left(\sum_i a_iX_i\right) =\sum_i a_i^2\sigma_i^2+2\sum_{i<j}a_ia_jE[\delta X_i\delta X_j].$$ 独立なら$E[\delta X_i\delta X_j]=E[\delta X_i]E[\delta X_j]=0$なので交差項が消える。さらに各変数がガウス分布であるため、和の分布形までガウスとなる。分散の式だけなら、無相関で有限な分散を持つ変数にも使える。 $Y=X_1-X_2$でも分散は$\sigma_1^2+\sigma_2^2$である。平均を引く操作と分散を引く操作を混同して$\sigma_1^2-\sigma_2^2$としない。

設問5　一次近似による誤差伝播

テイラー展開の一次係数$g_i$は、その観測量を少し変えたときに結果がどれだけ変わるかを表す感度である。平均からのずれ$\delta X_i$は平均0なので、一次近似した$f$の平均は$f(\boldsymbol\mu)$、分布はガウスとなる。二次項が無視できるという条件は、標準偏差の範囲で関数の傾きが大きく変わらないことに対応する。 例えば$f=X^2$で$\mu=0$なら一次係数は0だが、実際の$X^2$のばらつきは0ではない。こうした停留点では二次項が支配し、一次公式をそのまま使えない。また、観測量に相関があると$2g_ig_j\operatorname{Cov}(X_i,X_j)$も必要である。本問では小さい変動と独立性が指定されているので、この項を含まない式を用いる。

設問6(a)　等級と距離から求める量

常用対数は$\log_{10}d=\ln d/\ln10$なので、微分には$1/\ln10$が残る。距離の相対誤差は$10/100=0.10$であり、これに$5/\ln10$を掛けた$0.217\ldots$が距離による等級の標準偏差になる。独立な$m$由来の$0.2$とは二乗和の平方根で合成する。 誤差を有効数字1桁に丸めて$0.3$とし、中心値も同じ小数第1位まで示した。距離が大きく見積もられると$M$は小さくなるが、標準偏差の寄与は正である。負の感度をそのまま誤差から引いたり、$0.2+0.217$を統計誤差としたりすると、指定の独立なガウス誤差に対応しない。

設問6(b)　積とべきの相対誤差

一般に$f=AX^uY^v$の一次誤差は、独立な$X,Y$について$(\sigma_f/f)^2=u^2(\sigma_X/X)^2+v^2(\sigma_Y/Y)^2$となる。これは別の暗記公式を必要とせず、$\ln f=\ln A+u\ln X+v\ln Y$の微分から得られる。ここでは指数が$1/2$と$-2$なので、相対誤差をそれぞれ半分、2倍にする。 $L$由来の3\%と$T$由来の4\%から合成誤差は5\%となる。この比を先に求めれば、最後に中心値を掛けるだけで絶対誤差へ戻せる。$T^{-2}$の負号は寄与の相殺を意味せず、二乗の中で消える。途中の中心値を先に2.8へ丸めず、誤差計算まで桁を保つ。

軸対称な重力場では、軸まわりのトルクが0なので角運動量が保存される。円軌道の位置と安定性は有効ポテンシャルで調べ、微小振動では角速度を固定しない。周期比から得る形状と、原題の鉛直変位の表記条件を分けて扱う。

電場と磁場の関係をMaxwell方程式から作り、その積で運ばれるエネルギーを計算する。時間平均では正弦波の二乗の平均が現れる。放射圧は運動量の受け渡しであり、完全吸収と反射を含む場合とで係数が変わる。

絞り過程では気体を押し出す仕事も含め、内部エネルギーとエンタルピーを区別する。温度の変化は熱力学関係式から導く。量子振動子は分配関数を微分し、零点エネルギーと高温極限の両方で符号を確かめる。