総合研究大学院大学 先端学術院 先端学術専攻 専門科目（天文科学コース） 2021年度 院試 過去問 解答例・解説（解説5項目）

微分方程式は、指数関数や未知関数の逆数を置くことで線形な式へ変形できる場合がある。変換後を解いたら、対数の定義域と分母が0になる点を確認する。途中で未知関数を割った場合には、除かれた定数解も元の式で調べる。

変分では端点を固定し、速度に掛かる項を部分積分して運動方程式を導く。回転する拘束は外部から仕事を受けるため、保存する一般化エネルギーと機械的エネルギーを区別する。形状の条件は全ての角速度で成立するように課す。

三角関数の直交性から係数を取り出し、周期区間に応じた級数を作る。熱統計の積分では、幾何級数へ展開して各項を積分する。和と積分を交換できる理由を示したうえで、整数の和と積分値を結び付ける。

設問1　電子の変位を行列で解く

$\dot{\boldsymbol r}\times\boldsymbol B_0$の成分は$(B_0\dot y,-B_0\dot x,0)$なので、横方向の2方程式が結び付く。虚数$i$は変位と電場の位相差を表し、時間依存の符号を変えるとこの位相の表記も変わる。途中だけ$e^{+i\omega t}$の規約を混ぜない。 $B_0\to0$なら$\omega_c\to0$、$\beta\to0$、$\alpha\to\gamma$となり、3方向の応答が同じになる。汎用の有限な定常応答を求める逆行列には$\omega\neq0$、$\omega^2\neq\omega_c^2$が必要である。原題の$\omega\neq\omega_c$という表記だけでなく、符号付きの$\omega_c$で分母が0となるもう一方の共鳴点にもこの式を代入しない。

設問2(1)　訂正された記号だけで表す誘電率

比誘電率テンソルは、電場の各成分が電束密度のどの成分を作るかを表す線形写像である。磁場があると$x$方向の電場から$y$方向の分極も生じるため、非対角成分が現れる。前問の$\Delta x=-\alpha E_x-\beta E_y$などを直接代入すると、非対角成分の符号を追える。 $+z$方向へ伝わる横電磁波を考えると$E_z=0$であり、通常は左上の2行2列だけで計算が完結する。しかし、励起する電場の$z$成分が0だからといって、物質自身の$\epsilon_{zz}$を1と決めることはできない。上の恒等式を使えば、訂正後の指定記号を保ったまま全3成分の応答も示せる。$\eta\alpha$などは無次元で、$n\to0$では単位行列へ戻る。

設問2(2)　マクスウェル方程式の波数表示

場の回転に$i\boldsymbol k\times$、時間微分に$-i\omega$を対応させた。第1式へもう一度$\boldsymbol k\times$を作用させ、$\epsilon_0\mu_0=1/c^2$を使うことで磁場を消去する。符号をそろえると電場だけの同次線形方程式になる。 異方性媒質では、一般に$\boldsymbol k\cdot\boldsymbol E=0$を最初から仮定してはいけない。上の式と$\omega\neq0$からは$\boldsymbol k\cdot\boldsymbol D=0$が従うが、$\boldsymbol D$と$\boldsymbol E$は同じ向きとは限らない。二重の外積を$-k^2\boldsymbol E$だけに置き換えるには、横波という条件を確認しておく。

設問2(3)　非自明解と左右円偏光の分散

例えば$E_x=iE_y$なら横行列の固有値は$a-D$であり、$\mathcal N^2=a-D=1-\omega_p^2/[\omega(\omega-\omega_c)]$となる。反対の円偏光では$a+D$となる。直線偏光をこの等振幅の2円偏光へ分けると、距離$d$で相対位相$(k_+-k_-)d$が蓄積し、偏光面がその半分の角度だけ回る。これがファラデー回転の仕組みである。 $\mathcal N_\pm^2>0$では正方向へ進む枝として$k>0$を選び、上の実の位相速度を読む。負の領域は減衰波となるので、実の伝播速度として扱わない。$B_0=0$では2枝が縮退し、速度差が消える。 全3成分の「非零解」の条件には、横部分に加えて$\epsilon_{zz}=0$、すなわち$\omega^2=\omega_p^2$の枝もある。これは$E_z\neq0$、$E_x=E_y=0$、$\boldsymbol H=0$の縦振動で、この局所モデルでは波数を定めない。左右円偏光の横電磁波とは区別して収録した。前問で全テンソルを使ったため、この数学的な枝も落とさず確認できる。

オシロスコープの目盛を電圧と周期へ換算した後、複素インピーダンスで回路の分圧を求める。雑音の加算では電圧倍率と電力利得を区別する。高温・低温入力の比を用いる測定は、帯域幅と利得が共通である条件から導く。