総合研究大学院大学 先端学術院 先端学術専攻 専門科目（天文科学コース） 2022年度 院試 過去問 解答例・解説（解説5項目）

軸対称なラプラス方程式を変数分離すると、鉛直方向と動径方向で異なる方程式が現れる。両側で減衰する枝は原点で連続でも微分可能とは限らない。動径の級数は項別微分と係数の漸化式でベッセル方程式に戻して確認する。

水面からの流出は、圧力と重力のエネルギーを流速へ変える条件として扱う。水位が下がれば流出速度も変わるため、排水時間には体積の連続条件を使う。回転流の自由表面は、渦があることを踏まえて圧力勾配から求める。

球面の面積分は外向き法線と球面座標の面積要素をそろえて計算する。回転と発散は成分ごとに微分して確認する。球と平面の交わりは空間では真円でも、座標面へ投影すると楕円になるため、面積を混同しない。

設問1　磁束の発散から動径成分を求める

磁場には湧き出しがないため、軸方向の磁束密度が増す場所では磁力線は軸へ寄る。$B'_0>0$に対して$B_r<0$となる結果は、その幾何学と一致する。円筒座標では動径方向の発散に$r$の因子が入り、$\partial_rB_r+B'_0=0$ではない。 積分定数を残すと$B_r=-B'_0r/2+C(z)/r$となり、軸で発散する。この特異な枝を除くのが原題の軸上条件である。$B'_0\to0$なら横成分が消え、一様な軸方向磁場へ戻る。

設問2　旋回半径

右手系で$\boldsymbol e_\phi\times\boldsymbol e_z=\boldsymbol e_r$なので、正電荷なら力は外向きだが、負電荷では内向きになる。原題の旋回の向きと電荷の符号が、この向心力の釣り合いを可能にしている。 この半径は局所的なラーマー半径であり、磁場が旋回の間に僅かしか変わらないときに使う。質量と速度に比例し、電荷の大きさと磁束密度に反比例する。$B$を磁界$H$へ無条件に置き換えると、ローレンツ力の単位と係数が変わる。

設問3　方位角方向の速度の変化

半径は磁場とともに変わるので、$v_r$を最初から0と置きながら半径変化を許す説明は一貫しない。上の計算では円筒座標の加速度にもローレンツ力にも現れる$v_r$を残し、局所円運動の関係によって消した。 $B'_0>0$では$v_\phi$が$z$とともに増える。後に得る$v_\phi\propto\sqrt{B_z}$を微分しても同じ係数$B'_0/(2B_z)$となる。$1/2$を落とすと、次問の磁気モーメントの保存に一致しなくなる。

設問4　保存する磁気モーメント

$\mu$は原題の旋回近似での磁気モーメントであり、磁場に垂直な運動エネルギーを局所磁場で割った量になる。一般の緩変化磁場で使う断熱不変量を、ここでは$B_z$と方位角速度で表している。急に変わる磁場へ、この保存をそのまま適用しない。 旋回半径へ戻すと$r\propto v_\phi/B_z\propto B_z^{-1/2}$となり、強い磁場ほど旋回が小さくなる。$v_\phi$が増すから半径も増す、と速度だけを見て判断しない。速度と磁場の両方の依存性が必要である。

設問5　鉛直方向に働く力

$B'_0>0$なのでこの力は$-z$向きであり、より弱い磁場へ粒子を押し戻す。磁場が一様なら勾配が0で、この軸方向の力も消える。$\mu$が正であることと合わせて、力の向きを確認できる。 ローレンツ力は常に全速度と直交するので、全体として仕事をしない。それでも軸方向の運動エネルギーは減り、その分が方位角方向へ移ることは可能である。磁気モーメントの式だけを見て磁場が粒子へエネルギーを供給すると解釈しない。

設問6　反射する位置

$z=z_c$では平行方向の運動が止まり、設問5の負向きの力によって戻り始める。鏡のように粒子を反射するため磁気ミラーと呼ぶ。この位置の磁場は$B_c/B_0=1+v_{z0}^2/v_{\phi0}^2$となり、初期の平行運動が大きいほど強い磁場まで到達する。 $B'_0\to0$では反射位置が無限遠へ移り、一様磁場では反射しないことを再現する。$B_0/B'_0$は長さ、速度の比の二乗は無次元なので$z_c$の単位も合う。原題の$v_{\phi0}\gg v_{z0}>0$と緩変化条件の範囲で導いた結果であり、局所円運動を維持できない任意の急勾配へ正確な式として広げない。

振動子の状態和と2偏極の光のモード数を組み合わせ、黒体放射の密度を導く。波長表示では変数変換の因子が必要になる。長波長側の食は同じ波長での放射を比較し、全波長の温度4乗則や手前を横切る通過と区別する。