総合研究大学院大学 先端学術院 先端学術専攻 専門科目（天文科学コース） 2025年度 院試 過去問 解答例・解説（解説5項目）

曲面の法線は等位面の勾配から求め、指定された向きへ正規化する。曲線上の積分は直接計算とStokesの定理で確認できる。向きを逆にすると線積分の符号も変わるため、使う向きを答案の初めに示す。

最小二乗近似は誤差の二乗積分を小さくする係数を選ぶ問題である。三角関数の直交性を用いると係数の条件が独立になり、非負な二次項から最小性も分かる。級数から数の和を求める際は、代入点での収束値を確認する。

相対論では全エネルギーと運動量の不変量を用いて、反応前後の慣性系をつなぐ。しきい値は重心系に余分な運動が残らない条件から求める。同じ電場での加速は時間と距離の指定を区別し、光子の散乱では運動量をベクトルで保存させる。

光検出の限界波長は、光子1個のエネルギーと必要な励起エネルギーを比較する。画素の電圧変化では面積と厚さをSI単位へ直し、容量を求める。信号の整定は回路の微分方程式から導き、初期値と定常値の両方を確かめる。

設問1(a)　静水圧平衡

面積$dS$、厚さ$dr$の小要素には、内側の面から$P(r)dS$、外側から$-P(r+dr)dS$の圧力が働く。その差は$-(dP/dr)dSdr$となり、体積で割ると圧力勾配力を得る。球対称で接線方向の変化がなく、大気の自己重力と自転の遠心力を無視するという原題条件を使っている。 $\rho>0$、$M>0$なら$dP/dr<0$で、外側ほど圧力が低くなる。その圧力差が外向きの支持力となる。$dP/dr=+\rho GM/r^2$と書くと、圧力勾配力と重力がともに内向きとなって釣り合わない。

設問1(b)　等温大気の密度と局所スケールハイト

スケールハイトは$H^{-1}=-d\ln\rho/dr$と定義する局所的な長さである。$r$に依存する重力の下では$H$も$r^2$に比例して変わるため、全領域で一つの指数$e^{-r/H}$と書くことはできない。表面近くで$h=r-A\ll A$なら$1/r-1/A\simeq-h/A^2$となり、$\rho\simeq\rho_Ae^{-h/H(A)}$という通常の指数大気へ近づく。 $r>A$では指数が負になり密度が減る。$r\to\infty$で密度が有限の小さい値へ近づく点は、等温・静止・自己重力無視のモデルを無限遠まで延ばした結果である。真空へ接する大気全体の現実的な境界条件まで、この近似だけで与えたとはいえない。

設問1(c)　放射を含む有効重力

$\kappa$の単位は$\mathrm{m^2\,kg^{-1}}$であり、粒子1個の有効断面積$S$を単位質量あたりに換算した量である。放射フラックスの運動量流は$F/c$なので、断面積を掛けると粒子1個の力となり、さらに粒子数密度を掛けて体積あたりの力へそろえる。 放射力は外向きなので重力の一部を打ち消し、$0<\kappa L/(4\pi cGM)<1$ならスケールハイトは元の$H$より大きくなる。比が1に近づけば密度勾配が小さくなる。比が1を越えたときの負の$H_{\mathrm{mod}}$は、外へ密度が減る通常の静的な大気を同じモデルで支えられないことを示す。放射を追加して$H$を小さくする符号を選ぶと、力の方向に反する。

設問1(d)　密度勾配が消える光度

この光度はエディントン光度と呼ばれる。重力と放射力がともに$r^{-2}$に比例するため、その比は半径に依存せず、一つの光度で大気全体の有効重力が0になる。$S$が定数、球対称で光度が一定という原題の仮定が、この簡約に必要である。 有効断面積が大きい粒子ほど同じ光度から大きな力を受けるので、$L_E$は$\kappa$に反比例する。$\kappa$を分子に置くとこの傾向も単位も合わない。ここで密度一定という結果は等温条件と合わせたもので、温度勾配を持つ別の大気へそのまま拡張しない。

設問1(e)　太陽での大きさの比較

粒子1個の放射力$SL/(4\pi cr^2)$を、質量$\tilde\mu/N_A$に働く重力$GM\tilde\mu/(N_Ar^2)$で割れば、比は$\kappa L/(4\pi cGM)=L/L_E$となる。半径を指定せずに太陽大気での比較ができる理由である。この理想化では太陽の放射による加速は重力の約3万分の1である。 $L_E$を先に有効数字1桁の$10^{31}$へ丸めて割ると、比を$4\times10^{-5}$とする丸めの影響が出る。最終結果を別々に丸めるまで内部の計算桁を保つ。比較するのは力または加速度の比であり、放射圧と重力そのものを単位の異なるまま割らない。

設問2(a)　理想気体の比エンタルピー

$c_P-c_V=R$は、理想気体を定圧で1 K温めた際に、内部エネルギーの増加に加えて膨張仕事$R$ J/molが必要になることから得られる。したがって流れのエネルギーを扱うエンタルピーには$c_V$でなく$c_P$が現れる。ここではモル比熱をモル質量で割り、単位質量あたりの量へそろえた。 $RT/\tilde\mu$の単位は$\mathrm{J\,kg^{-1}}$であり、流速の二乗と同じ次元である。原題の$U$は気体全体の内部エネルギーでなく比内部エネルギーなので、さらに密度で割ってはならない。エネルギーの基準に定数を加えても、次問では両地点で同じ基準を使えば差は不変である。

設問2(b)　外へ逃れる流れのエネルギー条件

流線に沿ったベルヌーイの式は、定常・断熱で粘性散逸がなく、保存力が働くときに使う。圧力仕事を含むため、内部エネルギーでなく比エンタルピーを用いる。表面の値が束縛$GM/A$を上回ると、その差を無限遠での運動エネルギーに変えられる。 無限遠のエンタルピーが非負なら$B>0$は正の終端速度の必要条件である。$B=0$は残るエンタルピーと終端速度がともに0の限界で、有限の半径で$v>0$でも無限遠で0へ近づく流れを含む。このエネルギー条件だけでは、質量流量や音速点を通る解の存在は保証しない。静止大気の温度や$pV^\gamma$だけを比べ、運動エネルギーを落とさない。