総合研究大学院大学 先端学術院 先端学術専攻 専門科目（天文科学コース） 2024年度 院試 過去問 解答例・解説（解説5項目）

熱方程式を空間についてフーリエ変換すると、波数ごとに時間の微分方程式となる。逆変換後のガウス型は、幅が広がる一方で積分値を保つ。初期時刻に通常の有限な関数へ戻るか、デルタ関数の極限になるかも区別する。

複素積分の大きさを評価するときは、複素数の積分路要素と実数の弧長を区別する。半円上での最大値と弧長から無限遠の寄与を抑え、残る実積分を留数へ結び付ける。極の位置だけでなく閉じる半平面での減衰も調べる。

設問1(a)　円運動中の2つの力

円錐面の母線は鉛直方向となす角が$\theta$であり、ばねはその母線に沿って質点を頂点へ引く。垂直抗力は母線に直交し、外向きかつ上向きの成分を持つ。2方向へ投影してから力の大きさを求めると、原題の3次元図を直接見ながら符号を決める必要がなくなる。 $\omega_0=0$なら$S=mg\cos\theta$、$N=mg\sin\theta$となり、斜面上の静的な釣り合いを再現する。$N\geq0$が接触の条件であり、計算上$N<0$になる状態を円錐面が質点を引き寄せる力として許してはならない。

設問1(b)　面から離れる角速度

垂直抗力は接触を維持する押す力であり、0へ達した後に負の値を取って接触を保つことはできない。その限界でばねの鉛直成分だけが重力を支え、水平成分が円運動の向心力となる。$S\cos\theta=mg$、$S\sin\theta=m(l+r_c)\sin\theta\,\omega_c^2$を割っても同じ条件を得る。 $g/[(l+r_c)\cos\theta]$は$\mathrm{s^{-2}}$なので平方根が角速度になる。ここでは角速度を外から調節しているため、調節中まで角運動量が一定と仮定しない。次の設問の自由な運動とは条件が異なる。

設問2(a)　拘束を含めたラグランジアン

面に沿う半径方向の動きは、母線方向の変位$dr$で測る。母線の長さに対する変化なので、この成分の速度は$\dot r$であり、$\dot r\sin\theta$ではない。後者は円筒半径の変化だけで、同時に生じる鉛直速度を落としている。 原題では$z$軸が重力方向に向くため、重力ポテンシャルは$-mgz$となる。上向きを正とする通常の$+mgz$をそのまま使うと重力項の符号が逆になる。拘束面の抗力は許された微小変位と直交して仕事をしないので、一般化座標$r,\phi$のラグランジアンには抗力を直接入れない。

設問2(b)　一般化座標の運動方程式

角度の式では、$d[(l+r)^2\dot\phi]/dt=(l+r)^2\ddot\phi+2(l+r)\dot r\dot\phi$と、係数の時間変化も微分する。$\partial L/\partial\phi=0$だから$\ddot\phi=0$と直接結論するのは誤りである。 半径を伸ばす$\dot r>0$の運動では、正方向へ回っている質点の$\ddot\phi$は負になり、回転が遅くなる。これは腕を広げる回転運動と同じ傾向である。また$\dot\phi=0$なら$r$の式はばねと重力の母線成分による一次元運動へ戻る。

設問2(c)　保存する角運動量

円筒半径は$\varrho=(l+r)\sin\theta$、方位角方向の速さは$\varrho\dot\phi$なので、$z$軸まわりの角運動量は$m\varrho^2\dot\phi$となる。これが前問の循環座標に対応する一般化運動量と一致する。 外力の重力は$z$軸に平行で、ばね力は頂点へ向かい、抗力も方位角方向の成分を持たない。したがって$z$軸まわりのトルクが0であることからも保存を説明できる。$m(l+r)^2\dot\phi$も$\theta$一定の本問では比例した保存量だが、物理的な$L_z$を示すには$\sin^2\theta$を含める。

設問2(d)　定常円運動のばねの伸び

原題の$k>m\omega_0^2\sin^2\theta$により分母は正であり、通常の$0<\theta<\pi/2$では伸びも正になる。$\omega_0\to0$なら$r_0=mg\cos\theta/k$となり、設問1(a)の静的なばね力へ戻る。 $kr_0=S$へ前問の式を戻すと$S=mg\cos\theta+m(l+r_0)\omega_0^2\sin^2\theta$で、力の釣り合いから得た結果と一致する。遠心項の中のばね長を$l$だけに置き換えると、伸び自身が円筒半径を増やす効果を落とし、分母の補正が得られない。

設問2(e)　角運動量を固定した微小振動

展開には$|\rho|/(l+r_0)\ll1$を使う。半径が増すと角速度が下がるため、遠心効果も弱くなり、ばねの復元力に加えて元の半径へ戻す効果が生じる。このため$\Omega_s^2$には正の$3\omega_0^2\sin^2\theta$が加わる。 別法として、$L_z$を固定した有効ポテンシャル $$U_{\mathrm{eff}}=\frac{k r^2}{2}-mg(l+r)\cos\theta+ \frac{L_z^2}{2m(l+r)^2\sin^2\theta}$$ の二階微分を$r_0$で求め、$m$で割っても同じ$\Omega_s^2$を得る。角速度を固定したまま微分すると$k/m-\omega_0^2\sin^2\theta$となるが、それは外部から回転を制御し続ける別の運動である。角運動量を保存する自由振動の答えには使えない。

線路の容量とインダクタンスは単位長さあたりの量であり、微小区間の保存則から波動方程式を作る。反射では電圧と電流の符号関係を区別する。矩形波は先端と後端がそれぞれ往復して戻るため、全ての段差を時間順に重ねる。

箱の量子状態を連続なモードへ近似し、1粒子の分配関数を求める。同種粒子の数え過ぎを除いて自由エネルギーを作ると、化学ポテンシャルが得られる。重力中の平衡は外場のエネルギーも含めた値が等しい条件で調べる。