単振動・減衰振動・強制振動減衰比で分かれる3つの解と共振の条件

質量 $m$ 、ばね定数 $k$ 、粘性抵抗係数 $c$ の振動は $m\ddot{x} + c\dot{x} + kx = F(t)$ で表す。固有角振動数 $\omega_0 = \sqrt{k/m}$ と減衰比 $\zeta = c/(2\sqrt{mk})$ を使うと、外力がないときの解は $\zeta < 1$ で減衰振動、 $\zeta = 1$ で臨界減衰、 $\zeta > 1$ で過減衰になる。周期的な外力を加えたときの定常振動の振幅は、 $\zeta < 1/\sqrt{2}$ なら $\omega = \omega_0\sqrt{1 - 2\zeta^2}$ で最大になる。

力学の第2単元（全4単元）。先に読む単元：運動の法則と保存則、微分方程式・定数係数線形微分方程式

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単振動の運動方程式と解

定義

単振動（調和振動）

復元力 $-kx$ だけを受ける質点の運動方程式 $m\ddot{x} = -kx$ の解を単振動という。 $\omega_0 = \sqrt{k/m}$ とおくと一般解は

x(t) = A\cos(\omega_0 t + \phi) = C_1\cos\omega_0 t + C_2\sin\omega_0 t

で、振幅 $A$ と初期位相 $\phi$ は初期条件で決まる。周期は $T = 2\pi/\omega_0 = 2\pi\sqrt{m/k}$ で、振幅によらない。

力学的エネルギー $E = \frac{1}{2}m\dot{x}^2 + \frac{1}{2}kx^2 = \frac{1}{2}kA^2$ は一定である。ポテンシャル $U(x)$ の極小点 $x_0$ のまわりの小さな振動も、 $U(x) \approx U(x_0) + \frac{1}{2}U''(x_0)(x - x_0)^2$ と近似すれば $k = U''(x_0)$ の単振動になる。単振り子は $\sin\theta \approx \theta$ が使える小さな振れ角で $T = 2\pi\sqrt{l/g}$ となり、振れ角が大きいと周期は長くなる。

減衰比で分かれる減衰振動・臨界減衰・過減衰

定義

減衰比 $\zeta$

$m\ddot{x} + c\dot{x} + kx = 0$ を $m$ で割り、 $\omega_0 = \sqrt{k/m}$ 、 $\zeta = \dfrac{c}{2\sqrt{mk}}$ とおくと

\ddot{x} + 2\zeta\omega_0\dot{x} + \omega_0^2 x = 0

になる。 $x = e^{\lambda t}$ を代入した特性方程式 $\lambda^2 + 2\zeta\omega_0\lambda + \omega_0^2 = 0$ の解は $\lambda = \omega_0(-\zeta \pm \sqrt{\zeta^2 - 1})$ で、根号の中の符号で解の形が変わる。

定理・法則

外力がないときの一般解

条件

$m, k > 0$ 、 $c \ge 0$ の定数係数の方程式 $\ddot{x} + 2\zeta\omega_0\dot{x} + \omega_0^2x = 0$ 。 $A, B$ は初期条件で決まる定数。

主張

$0 \le \zeta < 1$ （減衰振動）： $x = e^{-\zeta\omega_0 t}(A\cos\omega_d t + B\sin\omega_d t)$ 、 $\omega_d = \omega_0\sqrt{1 - \zeta^2}$ 。
$\zeta = 1$ （臨界減衰）： $x = (A + Bt)e^{-\omega_0 t}$ 。
$\zeta > 1$ （過減衰）： $x = Ae^{\lambda_+ t} + Be^{\lambda_- t}$ 、 $\lambda_\pm = \omega_0(-\zeta \pm \sqrt{\zeta^2 - 1}) < 0$ 。

要点

臨界減衰では特性方程式が重解 $\lambda = -\omega_0$ をもつので、2つ目の独立な解が $te^{-\omega_0 t}$ になる。 $\zeta > 0$ ならどの場合も $t \to \infty$ で $x \to 0$ となる。過減衰では遅い方の指数 $|\lambda_+| < \omega_0$ が残るため、平衡点への戻りは臨界減衰より遅い。

減衰比 ζ0.2

減衰振動。x(0) = x₀、x′(0) = 0。灰色の破線は臨界減衰（ζ = 1）、橙の破線は包絡線 ±e^(−ζω₀t)、周期 2π/ω_d = 6.413/ω₀

減衰比 $\zeta$ を動かすと、同じ初期変位 $x(0) = x_0$ 、初速度 $0$ から始めた $x(t)$ の形が変わる。 $\zeta < 1$ では包絡線 $\pm x_0e^{-\zeta\omega_0 t}$ の内側で振動し、 $\zeta = 1$ で振動せずに最も速く戻り、 $\zeta > 1$ では振動せずにゆっくり戻る。

減衰振動の量

減衰固有角振動数: $\omega_d = \omega_0\sqrt{1 - \zeta^2}$
対数減衰率: $\delta = \ln\frac{x(t)}{x(t + T_d)} = \zeta\omega_0 T_d = \frac{2\pi\zeta}{\sqrt{1 - \zeta^2}}$
$T_d = 2\pi/\omega_d$ は減衰振動の周期。1周期ごとに振幅が $e^{-\delta}$ 倍になる。
Q値: $Q = \frac{1}{2\zeta} = \frac{\sqrt{mk}}{c}$
減衰が小さいほど大きい。 $\zeta \ll 1$ では、共振曲線の半値幅（エネルギーが半分になる幅）が約 $\omega_0/Q$ になる。

強制振動と共振

定理・法則

正弦波の外力に対する定常解

条件

$\ddot{x} + 2\zeta\omega_0\dot{x} + \omega_0^2x = (F_0/m)\cos\omega t$ で $\zeta > 0$ 。

主張

一般解は外力のないときの解（過渡解）と特解の和で、過渡解は時間とともに減衰する。残る定常解は

x(t) = X\cos(\omega t - \varphi), \qquad X = \frac{F_0/m}{\sqrt{(\omega_0^2 - \omega^2)^2 + (2\zeta\omega_0\omega)^2}}, \qquad \tan\varphi = \frac{2\zeta\omega_0\omega}{\omega_0^2 - \omega^2}

で、 $\varphi$ は $0$ から $\pi$ の範囲にとる。

要点

$x = \operatorname{Re}(\hat{X}e^{i\omega t})$ とおくと $\hat{X} = (F_0/m)/(\omega_0^2 - \omega^2 + 2i\zeta\omega_0\omega)$ となり、その絶対値が $X$ 、偏角の符号を変えたものが $\varphi$ である。 $\zeta = 0$ で $\omega = \omega_0$ のときは特解が $t\sin\omega_0 t$ に比例し、振幅が時間に比例して増える。

共振の公式

振幅が最大になる角振動数: $\omega_r = \omega_0\sqrt{1 - 2\zeta^2} \qquad \left(\zeta < \tfrac{1}{\sqrt{2}}\right)$
$\zeta \ge 1/\sqrt{2}$ では $X$ は $\omega$ について単調に減り、峰をもたない。
振幅の最大値: $X_{\max} = \frac{F_0}{k}\cdot\frac{1}{2\zeta\sqrt{1 - \zeta^2}}$
位相の遅れ: $\omega = \omega_0 \ \Rightarrow \ \varphi = \frac{\pi}{2}$
変位は外力より $\pi/2$ 遅れ、速度は外力と同位相になる。外力のする仕事率の平均はこのとき最大になる。

振動の計算例

計算例

ばね振り子の周期

質量 $0.50\ \mathrm{kg}$ のおもりをばね定数 $200\ \mathrm{N/m}$ のばねにつけた。抵抗がないときの角振動数と周期を求めよ。

解答

$\omega_0 = \sqrt{k/m} = \sqrt{200/0.50} = 20\ \mathrm{rad/s}$ 、 $T = 2\pi/\omega_0 = \pi/10 \approx 0.31\ \mathrm{s}$ 。

検算

$\sqrt{k/m}$ の次元は $\sqrt{(\mathrm{kg/s^2})/\mathrm{kg}} = \mathrm{s^{-1}}$ 。おもりを4倍にすると周期は2倍になる。

計算例

臨界減衰の解に初期条件を入れる

$\zeta = 1$ の系を $x(0) = x_0$ 、 $\dot{x}(0) = 0$ から放す。 $x(t)$ を求めよ。

解答

$x = (A + Bt)e^{-\omega_0 t}$ で $x(0) = A = x_0$ 。 $\dot{x} = (B - \omega_0 A - \omega_0 Bt)e^{-\omega_0 t}$ から $\dot{x}(0) = B - \omega_0 x_0 = 0$ 、 $B = \omega_0 x_0$ 。

x(t) = x_0(1 + \omega_0 t)e^{-\omega_0 t}

検算

代入すると $\ddot{x} + 2\omega_0\dot{x} + \omega_0^2x = 0$ を満たす。 $t > 0$ で $x > 0$ なので、平衡点を通り越さずに戻る。

計算例

減衰振動の解と対数減衰率

$0 < \zeta < 1$ の系を $x(0) = x_0$ 、 $\dot{x}(0) = 0$ から放す。 $x(t)$ と、1周期あとの振幅の比を求めよ。

解答

$x = e^{-\zeta\omega_0 t}(A\cos\omega_d t + B\sin\omega_d t)$ で $A = x_0$ 。 $\dot{x}(0) = -\zeta\omega_0 A + \omega_d B = 0$ から $B = \zeta\omega_0 x_0/\omega_d$ 。

x(t) = x_0e^{-\zeta\omega_0 t}\left(\cos\omega_d t + \frac{\zeta}{\sqrt{1 - \zeta^2}}\sin\omega_d t\right)

$T_d = 2\pi/\omega_d$ たつと括弧の中は元に戻るので、振幅の比は $e^{-\zeta\omega_0 T_d} = e^{-2\pi\zeta/\sqrt{1 - \zeta^2}}$ 。

検算

$\zeta \to 0$ で $x = x_0\cos\omega_0 t$ の単振動に戻る。 $\zeta = 0.05$ なら $\delta \approx 0.315$ で、1周期ごとに振幅は約 $0.73$ 倍になる。

計算例

共振振動数と振幅の最大値

$\zeta = 0.1$ の系に $F_0\cos\omega t$ を加える。定常振幅が最大になる $\omega$ と、そのときの振幅を静的変位 $F_0/k$ と比べよ。

解答

$X^2$ の分母 $(\omega_0^2 - \omega^2)^2 + 4\zeta^2\omega_0^2\omega^2$ を $\omega^2$ で微分して零とおくと $\omega^2 = \omega_0^2(1 - 2\zeta^2)$ 。 $\omega_r = \omega_0\sqrt{0.98} \approx 0.990\,\omega_0$ 。

\frac{X_{\max}}{F_0/k} = \frac{1}{2\zeta\sqrt{1 - \zeta^2}} = \frac{1}{0.2\sqrt{0.99}} \approx 5.03

検算

$\omega = 0$ を代入すると $X = F_0/(m\omega_0^2) = F_0/k$ でばねの静的な伸びになる。 $\zeta \ll 1$ では $X_{\max}/(F_0/k) \approx 1/(2\zeta) = Q$ で、 $Q = 5$ とほぼ一致する。

答案でよくある誤り

1
臨界減衰の一般解を $Ae^{-\omega_0 t}$ だけにする。重解なので $(A + Bt)e^{-\omega_0 t}$ とし、2つの初期条件を両方満たす。
2
減衰振動の周期を $2\pi/\omega_0$ とする。減衰があると $\omega_d = \omega_0\sqrt{1 - \zeta^2}$ で、周期は $2\pi/\omega_d$ と長くなる。
3
振幅が最大になる振動数を常に $\omega_0$ とする。変位の振幅の峰は $\omega_0\sqrt{1 - 2\zeta^2}$ にある。 $\omega_0$ で最大になるのは速度の振幅と、外力のする平均仕事率である。
4
強制振動の解を特解だけで書き、初期条件を特解に当てはめる。初期条件は過渡解と特解の和である一般解に入れる。
5
減衰比を $\zeta = c/(2m)$ と書く。 $c/(2m)$ は減衰率 $\gamma$ （ $= \zeta\omega_0$ ）で、無次元の減衰比は $\zeta = c/(2\sqrt{mk})$ である。どちらを使うかを答案の最初に定める。