北大 情報科学院 情報科学専攻 システム情報科学コース 専門科目 2025年度 院試 過去問 解答例・解説（全7問）

行和条件は右から $\mathbf e$e を掛ける

この問題の中心は、行ごとの和を個別に追うのではなく、$\mathbf e$ を右から掛ける形に直すことである。$A\mathbf e$ の第 $i$ 成分は $A$ の第 $i$ 行の成分和そのものなので、条件全体が $A\mathbf e=\mathbf e$ の一行で表せる。逆行列や転置行列に関する議論も、この形にするとほとんど機械的に処理できる。

転置行列では固有値が 1 であることを確認する

$A^T$ の固有ベクトルが $\mathbf e$ であることだけでは、対応する固有値が $1$ とは限らない。そこで $A\mathbf e=\mathbf e$ から得られるスカラー量 $\mathbf e^T A\mathbf e=n$ と、$A^T\mathbf e=\lambda\mathbf e$ から得られる $\mathbf e^T A\mathbf e=\lambda n$ を比較する。この一手を書かないと、$A^T\mathbf e=\mathbf e$ までは到達しない。

ポテンシャルは積分定数の依存変数を絞り込む

$\varphi_x=P$ から積分した直後の ``定数'' は、$x$ に依存しない任意関数 $h(y,z)$ である。次に $\varphi_y=Q$ で $y$ 依存を消し、最後に $\varphi_z=R$ で $z$ 依存を消す。多変数のポテンシャル問題では、この任意関数を順に絞る過程を省かないことが重要である。

線積分の検算

得られたポテンシャルは $$\nabla(x^2+xy\cos z) = (2x+y\cos z,\ x\cos z,\ -xy\sin z)$$ となり、$a=1$ のときのベクトル場と一致する。終点では $\cos\pi=-1$ なので $1+2\cos\pi=-1$、始点では $x=y=0$ により変化分は $0$ である。符号ミスが起きやすいのは $\cos\pi=-1$ の部分である。

同次形では $y/x$y/x を見る

2-1(a) は $x$ と $y$ が同じ次数で現れる形なので、$y/x$ を新しい未知関数にするのが自然である。$y=vx$ と置いたあとに $dy/dx=v+xdv/dx$ を入れると、$v$ の項が打ち消されて変数分離に落ちる。この打ち消しを確認できれば、計算の方針はほぼ決まる。

線形連立系は固有値の符号が解の増減を決める

2-1(b) では固有値が $1$ と $-2$ なので、一つのモードは $e^t$ で増大し、もう一つのモードは $e^{-2t}$ で減衰する。固有ベクトルの定数倍は任意であるため、$(2,-1)^T$ を $(-2,1)^T$ としても同じ解空間を表す。

周期関数のラプラス変換は等比級数

ラプラス変換の積分を $[0,p],[p,2p],\ldots$ に分けると、周期性で関数部分は同じになり、指数関数だけが $e^{-ps}$ 倍ずつ変わる。このため係数が等比級数になり、分母 $1-e^{-ps}$ が現れる。収束条件としては通常 $\operatorname{Re}s>0$ を考えれば十分である。

フーリエ係数の偶奇を使って計算量を減らす

$t^2+t$ は偶関数部分 $t^2$ と奇関数部分 $t$ に分かれる。余弦は偶関数、正弦は奇関数なので、$a_n$ には $t^2$ だけ、$b_n$ には $t$ だけが効く。ここを見抜くと、不要な部分積分を半分に減らせる。最後に、この級数では定数項が $a_0$ であり $a_0/2$ ではない点にも注意する。

小問集合では表記の意味を先に確定する

$A\cap\overline{B}$ のように補集合が入る問題では、補集合を取る全体集合を必ず確認する。ここでは $U=\{1,\ldots,10\}$ の中で $B$ を補うので、$3,9$ は $A$ に入っていても除かれる。また、6 頂点の木の個数は「頂点を区別しない」と明記されているため、Cayley の公式 $6^{4}$ ではなく、非同型な木の個数 $6$ を答える。

論理回路は最後に吸収律で短くする

中段の反転後の項は $$\overline{B+\overline C}=\overline B C$$ である。下段に $A\overline B C$ が残っても、これは $\overline B C$ に吸収される。したがって最終形は $\overline A B+\overline B C$ で十分である。NAND の二段構成では、各積項の否定を作り、最後の NAND で和に戻す、という流れを意識すると図にしやすい。

グラフ問題の検算

無向グラフでは辺が $16$ 本なので、次数総和は握手補題により $2\cdot16=32$ になる。次数表の合計も $32$ になっており、数え落としの検算になる。最小全域木は 11 頂点なので採用辺が 10 本になっていることを確認する。最大フローでは、値 $13$ の実行可能フローと容量 $13$ のカットを同時に示しているため、最大フロー最小カット定理により最適性まで保証できる。

摩擦は減衰係数ではなく定数外力として扱う

動摩擦は速度に比例する抵抗ではなく，大きさがほぼ一定で向きだけが速度と反対に変わる力である。そのため運動方程式は半周期ごとに右辺の符号が変わる。周期が $2\pi\sqrt{m/k}$ のままなのは，摩擦が有効な平衡位置を $\pm\mu_{\mathrm d}mg/k$ だけずらすだけで，ばね定数と質量による角振動数を変えないからである。

停止条件では静止摩擦を使う

振幅の減少量は動摩擦で決まるが，最後に止まるかどうかは静止摩擦で判定する。問題では最初に手を離したときを $n=0$ とし，円板が一旦静止して運動の向きを変え，再び動き出すごとに $n$ を1増やす。したがって $j$ 回目の静止点での最大伸縮量は $$A_j=x_0-\frac{2j\mu_{\mathrm d}mg}{k}$$ であり，完全停止する静止点は $A_j\le \mu_{\mathrm s}mg/k$ を初めて満たす $j$ である。この最後の静止点では再始動しないので，方向転換回数としての $n$ はその一つ前までの回数，すなわち $j-1$ になる。

転がりでは有効質量が増える

転がりではばねの仕事が並進運動エネルギーだけでなく回転運動エネルギーにも入る。したがって有効質量は $$m_{\mathrm{eff}}=m+\frac{I}{a^2}$$ となる。一様円板では $I=ma^2/2$ なので $m_{\mathrm{eff}}=3m/2$ であり，滑る場合より周期が $\sqrt{3/2}$ 倍長くなる。

電流源を含む回路は節点法が安定

直流回路では中央の電流源が左右の分圧を直接結びつけている。メッシュ電流法でも解けるが，電流源の扱いで符号を間違えやすい。節点法なら，電流源が片方の節点に流入し，もう片方から流出することを式に入れるだけでよい。

交流回路は電圧の大きさだけで角度を復元する

直列抵抗の電圧は電流と同相なので，既知の三つの電圧実効値から余弦定理で負荷の力率を求められる。ただし，この情報だけでは負荷が遅れ力率か進み力率かまでは一意に決まらない。設問で単に力率を問う場合は $\cos\phi$ の大きさを答えればよい。

キャパシタの最終値は開放電圧で決まる

一次の RC 過渡応答は $$\text{最終値}+\{\text{初期値}-\text{最終値}\}e^{-t/\tau}$$ の形になる。端子電圧を変化させない条件は，初期値を最終値に一致させることに尽きる。ここで時定数にはキャパシタから見た等価抵抗 $r\parallel R$ を使う点が重要である。

円筒対称では法則の選び方で計算量が決まる

電荷が一様な円柱ではガウス面も同軸円筒に取ると，電界は半径方向だけになり，面積分が直ちに $E_r2\pi r\ell$ になる。軸方向電流による磁界も同じく円筒対称であり，アンペール経路を同心円に取るのが最短である。

周方向電流はソレノイド型の磁界を作る

周方向電流は，断面で見ると多数の円形電流が $z$ 方向に積み重なったものと考えられる。そのため磁界は周方向ではなく $z$ 方向を向く。導体の外側で $0$，内側の空洞で一定，導体内部で線形に変化する形は，厚みのあるソレノイドの磁界分布として理解できる。

誘導電界は中心からの距離に比例する

3-3 では，鎖交磁束が領域幅 $2x$ に比例するため，ファラデーの法則から誘導電界も $x$ に比例する。したがってジュール損失では $x^2$ を厚さ方向に平均することになり，$\int x^2\,dx$ から $w^2$ 依存性が現れる。周波数依存性は時間微分の $\omega=2\pi f$ から生じる。

位相条件は複素数の偏角差に直す

4-1 では，分子と分母をそれぞれ複素数として見ればよい。分子の偏角は $\tan^{-1}(a/b)$，分母の偏角は $\tan^{-1}c$ である。遅れ位相は分母側の偏角が大きいことを意味するため，符号を逆にしないことが重要である。

可制御正準形は伝達関数から直接作れる

分母が $s^2+s+6$，分子が $s+4$ なので，可制御正準形は $$A_c=\begin{bmatrix}0&1\\-6&-1\end{bmatrix}, \quad b_c=\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}, \quad c_c=\begin{bmatrix}4&1\end{bmatrix}$$ と置けばよい。正準形を求める問題では，相似変換そのものよりも，同じ伝達関数を実現していることを確認するのが採点上の要点になる。

ゲイン余裕は位相交差点で評価する

ゲイン余裕は閉ループ特性方程式そのものからではなく，開ループ伝達関数のボード線図上で読む量である。今回のように $K$ が単なる実ゲインのとき，位相交差周波数は $K$ に依存しない。まず $K=1$ の大きさを求め，最後に $K$ を掛けると計算が短い。

LQRの符号は入力の定義で決まる

標準形では最適入力は $u=-R^{-1}b^\top Sx$ である。本問では $R=1$，かつフィードバックを $u=Fx$ と書いているため，答えるべきゲインは $F=-b^\top S$ である。正の $[3\ 1]$ ではなく $[-3\ -1]$ になる点に注意する。