室蘭工業大学 工学研究科 専門科目（機械ロボット工学・共創情報学E系） 2026年度 一般入試（2次） 院試 過去問 解答例・解説（解説11項目）

固有値は $\det(\lambda I-A)=0$ から求め、その値を代入した連立一次方程式で固有空間を求めます。固有ベクトルは零ベクトルを除く任意の定数倍を含みます。得られた代表ベクトルについて $Av=\lambda v$ を直接確かめると、成分の順序や符号の誤りを見つけられます。

指数関数と三角関数の積は、両方の微分項を加えます。定積分では部分積分の上下の端点を差の順に代入し、重積分では長方形領域の上下限を固定して順に積分します。独立な範囲でも被積分関数を無理に積の形へ分けず、項ごとに積分できるかを見ます。

指数関数を含む外力には $y=e^xv$ の置換が使えます。変換後の同次方程式を解き、正弦・余弦を組み合わせた特解を加えます。置換で得た積分定数を元の $y$ へ戻した後、二つの独立な同次解が残っていることと、外力の係数を再確認します。

閉じた系の第一法則に、理想気体の状態式と内部エネルギーの温度依存を組み合わせます。エンタルピーを使う経路でも同じ熱量の微分式が得られ、二つの係数を比べると比熱の関係式が現れます。熱は状態量ではないため、全微分と同じ記号で扱わない点にも注意します。

圧縮比と比熱比からオットーサイクルの理論熱効率を求めます。最高圧力は定積加熱の終点にあり、断熱圧縮で得る温度比と、加熱前後の温度比を分けて使います。温度には絶対温度を用い、同じ体積にある二状態だけに圧力と温度の比例関係を適用します。

理想気体の密度は $p=\rho RT$ で圧力・温度と結び付きます。温度を求める際は、気体定数が単位質量当たりの値であることと、圧力の単位をそろえます。式の右辺が温度の次元になるかを確かめれば、密度や気体定数を逆に掛ける誤りを防げます。

円柱の抗力には、動圧、抗力係数、流れに垂直な投影面積を使います。長い円柱の側面積や断面の円面積をそのまま入れると、抗力係数を定義した面積と合わなくなります。直径と長さから投影面積を作り、長さの単位をそろえてから数値を代入します。

質量保存の式から、定常なら時間微分項が消え、非圧縮なら速度場の発散が零になります。一方向だけに速度成分を持つ場合は、その条件を成分式へ代入します。定常と非圧縮は別の仮定であり、定常というだけで密度を空間的に一定としてはいけません。

安全率を考慮した許容応力から必要断面積を求め、円形断面の直径へ換算します。棒の引張りとボルトのせん断では、力を受ける面の数と応力の種類を分けます。直径を丸める場合は許容応力を超えない側へ選び、得た直径を元の応力式へ戻して確かめます。

設問(1)　慣性モーメント

質点の慣性モーメントは $mr^2$ であり、支点の上か下かに関係なく非負になる。下側の質点は質量が2倍、距離も2倍なので寄与が $2\times2^2=8$ 倍になる。

運動エネルギーで確かめると、上の速度の大きさは $L\dot\theta$、下は $2L\dot\theta$ なので $T=m(L\dot\theta)^2/2+(2m)(2L\dot\theta)^2/2=9mL^2\dot\theta^2/2$。距離を二乗せず $mL+2m(2L)=5mL$ とすると次元が慣性モーメントにならない。

設問(2)　微小振動の式

上の質点だけなら、鉛直上向きの位置から倒れるほど重力位置エネルギーが減少する。一方、下の質点は傾けると位置が高くなり、復元モーメントを生む。二つの差 $4mgL-mgL=3mgL$ が正なので、鉛直姿勢は安定になる。

減衰器の取付点は支点から $L$ で、水平変位は $L\sin\theta\simeq L\theta$。速度に対する抵抗力を腕 $L$ で回転へ換算する。重力寄与をすべて足して $5mgL\theta$ とすると、上側質点も安定化すると誤って扱ったことになる。位置エネルギーの二階微分で符号を確認するとこの誤りを避けられる。

設問(3)　非減衰固有振動数

微小角の非減衰方程式 $\ddot\theta+\omega_n^2\theta=0$ の係数から固有角振動数を読む。重力と慣性はいずれも質量に比例するため、質量 $m$ が消える。幾何学的に相似な振り子では長くすると遅くなり、$L^{-1/2}$ の依存性もこの挙動と一致する。

有効振り子長さを $J_O/(3mL)=3L$ と置けば単振り子の $\sqrt{g/\ell_{\rm eff}}$ と同じ形になる。距離が長い下側の質点だけを採用すると $\sqrt{g/(2L)}$ となり、上側の質点による不安定化と慣性を落とす。

設問(4)　臨界減衰係数

減衰を増やしたときに振動性が失われる境界は、特性式の判別式が零になる点である。今回の回転減衰は $C_\theta=cL^2$ で、臨界値は $2\sqrt{J_OK_\theta}$。元の並進係数へ戻すため $L^2$ で割る。

$g/L$ は $\mathrm{s^{-2}}$、従って $c_c$ は $\mathrm{kg/s}$ になる。運動方程式を $L^2$ で割って $9m\ddot\theta+c\dot\theta+(3mg/L)\theta=0$ としてから重根条件を使っても同じ結果になる。$c_c=2\sqrt{9m\times3mgL}$ とすると、この割算で復元項に残る $1/L$ を落としている。

ブロック線図から閉ループと一巡の伝達関数を分けて求めます。ボード線図の折点と傾きの変化を極・零点に対応させ、ゲインの高さから係数を定めます。位相余裕はゲイン交差点で読む角度です。折線近似の交点と、厳密な伝達関数の交点による値を区別します。