室蘭工業大学 工学研究科 専門科目（機械ロボット工学・共創情報学E系） 2025年度 一般入試（2次） 院試 過去問 解答例・解説（解説10項目）

逆行列は、行列を単位行列へ変形するのと同じ行操作を右側にも行って求めます。途中を整数のまま整理できる順に選ぶと、分数計算を減らせます。最後は一方向の積だけでなく、左右両方の積が単位行列になることを確かめると、転置や行操作の転記ミスを検出できます。

逆正接の中身が比になっているので、偏微分では分母を固定する変数と動かす変数を区別します。定積分の重複因子は部分分数に独立した項を置きます。曲線領域の重積分は放物線を上端として上下限を書き、対数の引数が正になる範囲も確かめます。

一次線形方程式には積分因子を掛ける方法が使えます。多項式外力なので、多項式の特解を仮定して係数を比較する方法でも確認できます。同次解の任意定数を残したうえで、特解を元の式へ戻し、最高次から定数項まで一致させます。

閉じた系の内部エネルギー変化は、系へ入る熱と系が外へする仕事の符号をそろえて第一法則から求めます。エンタルピー差は内部エネルギー差に $pV$ の変化を加えます。等圧でも体積が変わればこの項は消えず、圧力と体積の積をエネルギーの単位へ換算する必要があります。

カルノー効率の温度比にはケルビンを使います。オットー効率は圧縮比と比熱比から計算し、最後に有効数字をそろえます。この回の公式解答例のオットー効率には数値の不一致があり、導出式からの計算と、指定された平方根近似による計算を分けて確認する必要があります。

水の円管流れでは、密度、断面積、平均速度の積が質量流量になります。レイノルズ数で層流を確認してから、中心速度と Darcy 摩擦係数を求めます。圧力損失に平均速度を使う点と、直径を SI 単位へ直す点をそろえると、各小問を一つの流れとして検算できます。

連続の式は密度を含む質量保存の式から始めます。変数と微分演算子をそれぞれ代表量で無次元化し、共通係数を取り除きます。非圧縮なら密度一定の速度発散へ簡約できますが、圧縮性の定常流れでは時間項が消えるだけで、密度を含む空間微分は残ります。

設問(1)　Cの反力

半固定はりでは固定端が鉛直力と曲げモーメントを負担するので、単純支持はりの反力を使えない。Cの変位を零とする条件を一つ加え、不静定な反力を決める。線形弾性の範囲で荷重別のたわみを重ね合わせた。

固定端反力は $2wl-R_C=5wl/4$ となり、合計が全荷重 $2wl$ に一致する。$R_C=wl$ と二等分すると、Cのたわみは零にならない。支持条件の検査は、力の合計だけでなく変位まで含めて行う。

設問(2)　Cのたわみ角

たわみ角は $dy/dx$ で、ローラー支持点Cでは変位が零でも回転は自由である。従って $\theta_C=0$ という条件は与えられていない。等分布荷重だけなら先端へ向かって下がる傾きだが、Cを支える上向き反力の寄与がこれを上回り、負の傾きになる。

全たわみ式を微分して $x=2l$ を代入する別法でも同じ値になる。Cの支持を固定端のように扱って角度零とすると、支持の拘束自由度を一つ増やした別のはりになってしまう。

設問(3)　中央Bのたわみ

分布荷重のたわみ式は $EIy^{(4)}=w$ を積分し、固定端の変位・角度零と自由端側の力学条件から得られる。反力の式は点荷重のたわみであり、同じ固定端条件を満たすので差を取れる。各式は全長 $L_0$ の影響を含むため、中央を切り出して長さ $l$ の片持ちはりとして扱えない。

$y(0)=y'(0)=0$、$y(2l)=0$ を代入して確認できる。$w=0$ なら全変位も零となる。Bに対し $wl^4/(8EI)$ を使うのは、Bより先の荷重と支持反力を消した別の境界条件である。

反力を求めた後で、たわみの境界条件を微分まで含めて検査する。$L_0=2l$ の式に $R_C=3wL_0/8$ を入れた $y(x)$ は、$y(0)=y'(0)=0$ と $y(L_0)=0$ を満たす。さらに $EIy''(L_0)=0$ となり、Cで曲げモーメントを伝えない支持条件とも一致する。

エネルギー法では、固定端からの座標で実際の曲げモーメントを $M(x)=w(L_0-x)^2/2-R_C(L_0-x)$ とする。ひずみエネルギーの $R_C$ による微分を零と置けば $$0=-\frac1{EI}\int_0^{L_0}\left\{\frac w2(L_0-x)^2-R_C(L_0-x)\right\}(L_0-x)dx,$$ すなわち $-wL_0^4/8+R_CL_0^3/3=0$ となる。支持点の変位が零という同じ幾何的条件を、仮想仕事で表した式であり、重ね合わせの反力と一致する。

倒立平板では、重力は傾きを増やす向き、ばねは戻す向きに働きます。微小角の復元係数が正となる範囲を求め、その係数を支点まわりの慣性モーメントで割って振動数を出します。公式解答例の周波数係数とは不一致があるため、運動方程式とエネルギーの両方で確かめます。

帰還を含む伝達関数は、各ブロックをそのまま一巡伝達関数と見なさず、信号の経路から整理します。安定性は特性多項式の係数で確認し、ボード線図では折点と低周波ゲインを使って係数を求めます。位相余裕の読図値には近似が含まれるため、厳密な交差周波数による値と区別します。