室蘭工業大学 工学研究科 専門科目（機械ロボット工学・共創情報学E系） 2025年度 一般入試（1次） 院試 過去問 解答例・解説（解説10項目）

三次行列の特性多項式を因数分解し、各固有値で連立方程式を解きます。固有値が異なれば固有ベクトルは一次独立になるため、求めた三本を並べた行列でも確認できます。ベクトルの定数倍は同じ固有方向を表し、成分の数値が異なるだけでは不一致になりません。

逆正接の偏微分では、まず中身を一つの関数と見て連鎖律を適用します。定積分は部分分数に分け、円盤上の重積分は固定した $x$ に対する上下の境界を書いてから積分します。円盤の対称性を使うときも、被積分関数がどの変数について偶関数かを確認します。

二階定数係数方程式を、同次解と特解に分けて解きます。外力の指数因子をくくると、正弦・余弦の未定係数を決める二元連立方程式が得られます。特解の係数を決めた後は、元の微分演算子を作用させて、指数項と三角関数の両方が一致するかを検算します。

比エンタルピーの定義は $h=u+pv$ です。ただし設問(1)では、記載された圧力・体積が理想気体の等温条件と両立しません。形式的な計算値と、全条件を同時に満たす答案の有無を分ける必要があります。密閉容器の別設問では、体積一定のため圧力比を絶対温度比に置き換えます。

可逆断熱過程の温度・比体積の関係を、第一法則と理想気体の状態式から導きます。カルノー機関は二つの熱源の絶対温度比、オットーサイクルは圧縮比と比熱比で効率を表します。どちらの温度が高温側か、放熱量を正の大きさで置いているかをそろえて計算します。

円管層流では、平均速度と管断面積から流量を求め、放物線状の速度分布から中心速度を読みます。圧力損失には Darcy の管摩擦係数を使い、Fanning の係数と取り違えないようにします。レイノルズ数で層流の仮定を確かめ、最後に圧力の単位まで確認します。

流体の加速度は、時間変化に加えて速度場の空間変化による移流項を持ちます。原題にある成分添字の不整合は、物質微分を各速度成分へ作用させて判断できます。代表長さと代表速度で無次元化した後は、慣性項で割ることで粘性項の係数がレイノルズ数の逆数になると分かります。

固定壁の間にある段付き棒では、自由熱膨張と軸力による弾性変形の和が零になります。途中に外力がなければ各区間の軸力は共通ですが、断面積が違うため応力は異なります。加熱時の反力を引張り正の規約で書けば負となり、各区間が圧縮されることも確かめられます。

平板を頂点まわりに回す慣性モーメントは、重心まわりの値に平行軸の項を加えて求めます。ばねの変位を微小角に比例する量へ直し、回転剛性と慣性の比から固有角振動数を出します。角振動数と周波数の違いに注意し、Hz で答えるときは $2\pi$ で割ります。

設問(1)　出発する極

根軌跡は $D(s)+KN(s)=0$ の根を $K\ge0$ で追ったものである。$K=0$ では $D(s)=0$ の根から出発する。今回の一巡伝達関数には有限零点がなく、三つの枝は無限遠へ向かう。

分母の因子 $(s-1)$ は極 $+1$ を表し、$-1$ ではない。これを取り違えると開ループの不安定極を消し、後の安定判定の説明も変わってしまう。

設問(2)　実軸上の区間

実軸上の各一次因子は、評価点が極の左側なら負、右側なら正になる。分子が正の定数なので、$G(s)$ が負の実数となるには分母の負の因子が奇数個必要である。これは $K=-D(s)/100\ge0$ という実数の条件からも確認できる。

例えば $s=-2$ なら $D=(-2+4)(-2+8)(-2-1)=-36$ で $K=0.36>0$。一方 $s=-6$ では $D=(-2)(2)(-7)=28$ となり $K=-0.28$ で対象外になる。左側の極を数えて奇数区間を選ぶと、この例と逆の区間を答える。

設問(3)　漸近線の角度

ゲインを無限大へ近づけると、最高次の項が無限遠での方向を決める。$s^3\simeq-100K$ の右辺は負の実数なので、その三つの三乗根の方向が等間隔に並ぶ。角度は正の実軸から反時計回りに測った。

$0^\circ,120^\circ,240^\circ$ とすると $s^3$ が正の実数になり、$s^3+100K=0$ の符号を満たさない。角度を360度ずつ変えて表すことや、$-60,-180,-300$ 度の組で表すことは同じ方向を表す。

設問(4)　漸近線の交点

分母を展開すると $D=s^3+11s^2+20s-32$。$s=z-11/3$ とずらすと $z^2$ の項が消え、大きな根の三方向がこの点の周りで釣り合うことが分かる。一般式は、根の和が多項式の二次係数で決まることに基づく。

交点は分離点ではない。分離点は $dK/ds=0$ を満たす点で、今回約 $-1.063$ である。$-11/3$ を枝が実軸を離れる位置として描くと、原題で示された分離点約 $-1$ とも一致しない。

設問(5)　根軌跡の概形

分離点の候補が二つ出ても、$K\ge0$ の実軸区間に属する点だけを採用する。もう一つの約 $-6.27$ は $(-8,-4)$ にあり、正のゲインの枝ではない。共役な枝は実係数多項式の根なので実軸対称になる。

虚軸との交点は $s=j\omega$ を $s^3+11s^2+20s+100K-32=0$ に代入して求められる。虚部は $\omega(20-\omega^2)=0$、非零の交点は $\omega=\sqrt{20}$。実部から $K=2.52$ となる。根軌跡の曲線はこの交点と分離点を通るよう、計算結果をもとに独自に描いた概形である。

設問(6)　安定性と振動性の判断

不安定性は右半平面の極、振動性は非実の共役極によって判断する。$K$ がほぼ零のとき正の実極があるので不安定だが、極は三つとも実数のままなので振動的とはいえない。この二つの性質を分けると（ウ）が正しく（エ）が誤りと判断できる。

（イ）は上で求めた安定区間が反例になる。（オ）は分離点より先の共役枝が反例になる。係数がすべて正となる $K>0.32$ だけで安定と判断すると、大きなKで二つの極が右半平面へ移る挙動を見落とす。