定数係数線形微分方程式特性方程式・特殊解の求め方・定数変化法

定数係数の線形微分方程式 $y^{(n)} + a_{n-1}y^{(n-1)} + \cdots + a_0y = f(x)$ の一般解は、斉次方程式の一般解に特殊解を1つ足したものである。斉次方程式の解は特性方程式 $\lambda^n + a_{n-1}\lambda^{n-1} + \cdots + a_0 = 0$ の根から作り、 $m$ 重根 $\lambda$ からは $x^ke^{\lambda x}$ （ $k < m$ ）が出る。特殊解は右辺の形に合わせた未定係数法か、定数変化法で求める。

微分方程式の第2単元（全4単元）。先に読む単元：1階常微分方程式

院試数学基礎完成シリーズ微分積分編

基礎ノートと類題を答案の形で解いた問題集（2,480円）。収録章と見本ページを商品ページで確認できる。過去問の本文は収録していない。

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線形微分方程式と基本解

定義

線形微分方程式と特性方程式

$a_0, \dots, a_{n-1}$ を定数として、微分作用素を $L[y] = y^{(n)} + a_{n-1}y^{(n-1)} + \cdots + a_1y' + a_0y$ と書く。 $L[y] = f(x)$ を定数係数の $n$ 階線形微分方程式、 $L[y] = 0$ を斉次方程式という。

$y = e^{\lambda x}$ を代入すると $L[e^{\lambda x}] = p(\lambda)e^{\lambda x}$ となる。 $p(\lambda) = \lambda^n + a_{n-1}\lambda^{n-1} + \cdots + a_0$ を特性多項式、 $p(\lambda) = 0$ を特性方程式という。

定義

基本解とロンスキアン

斉次方程式の一次独立な $n$ 個の解 $y_1, \dots, y_n$ を基本解という。

W(y_1, \dots, y_n) = \det\begin{pmatrix} y_1 & \cdots & y_n \\ y_1' & \cdots & y_n' \\ \vdots & & \vdots \\ y_1^{(n-1)} & \cdots & y_n^{(n-1)} \end{pmatrix}

をロンスキアンという。

定理・法則

解空間の次元と一般解

条件

係数 $a_k(x)$ と右辺 $f(x)$ が区間 $I$ で連続な $n$ 階線形方程式 $y^{(n)} + a_{n-1}(x)y^{(n-1)} + \cdots + a_0(x)y = f(x)$ （定数係数はその特別な場合）。

主張

$x_0 \in I$ と任意の初期値 $y(x_0), y'(x_0), \dots, y^{(n-1)}(x_0)$ に対して、解は $I$ 全体でただ1つ存在する。\n- 斉次方程式の解全体は $n$ 次元の線形空間である。\n- 斉次方程式の解 $y_1, \dots, y_n$ が一次独立であることと、 $I$ のある1点で $W \neq 0$ であることは同値で、そのとき $I$ のすべての点で $W \neq 0$ 。\n- 一般解は $y = C_1y_1 + \cdots + C_ny_n + y_p$ （ $y_p$ は特殊解の1つ）。

要点

ロンスキアンはアーベルの公式 $W(x) = W(x_0)\exp\left(-\int_{x_0}^{x} a_{n-1}(t)\,dt\right)$ を満たすので、1点で0なら恒等的に0である。解でない一般の関数では、 $W \equiv 0$ でも一次独立なことがある（ $x^2$ と $x\lvert x\rvert$ ）。

特性方程式の根と斉次方程式の解

根の種類と基本解（実数値の解で書く）

相異なる実根: $\lambda_1 \neq \lambda_2 \ \Rightarrow\ y = C_1e^{\lambda_1x} + C_2e^{\lambda_2x}$
重根: $\lambda \text{ が } m \text{ 重根} \ \Rightarrow\ e^{\lambda x}, \ xe^{\lambda x}, \ \dots, \ x^{m-1}e^{\lambda x}$
2階なら $y = (C_1 + C_2x)e^{\lambda x}$ 。
複素根: $\lambda = \alpha \pm i\beta \ (\beta \neq 0) \ \Rightarrow\ y = e^{\alpha x}(C_1\cos\beta x + C_2\sin\beta x)$
$e^{(\alpha \pm i\beta)x}$ の実部と虚部をとる。
連立方程式: $\boldsymbol{x}' = A\boldsymbol{x}, \ A\boldsymbol{v} = \lambda\boldsymbol{v} \ \Rightarrow\ \boldsymbol{x} = e^{\lambda t}\boldsymbol{v} \text{ は解}$
$A$ が対角化できれば一般解は $\sum C_ie^{\lambda_it}\boldsymbol{v}_i$ 。固有値と固有ベクトルを参照。

重根で $xe^{\lambda x}$ が解になることは、 $p(\lambda) = (\lambda - \lambda_1)^2q(\lambda)$ のとき $L[e^{\lambda x}] = p(\lambda)e^{\lambda x}$ を $\lambda$ で微分すると

L[xe^{\lambda x}] = \frac{\partial}{\partial\lambda}L[e^{\lambda x}] = \{p'(\lambda) + xp(\lambda)\}e^{\lambda x}

となり、 $\lambda = \lambda_1$ で $p(\lambda_1) = p'(\lambda_1) = 0$ になることから分かる。

計算例

重根の初期値問題

$y'' + 4y' + 4y = 0$ 、 $y(0) = 1$ 、 $y'(0) = 0$ を解け。

解答

特性方程式 $\lambda^2 + 4\lambda + 4 = (\lambda + 2)^2 = 0$ は重根 $-2$ をもつ。一般解は $y = (C_1 + C_2x)e^{-2x}$ 。 $y(0) = C_1 = 1$ 、 $y'(0) = C_2 - 2C_1 = 0$ から $C_2 = 2$ 。よって $y = (1 + 2x)e^{-2x}$ 。

検算

$y' = -4xe^{-2x}$ 、 $y'' = (-4 + 8x)e^{-2x}$ で、 $y'' + 4y' + 4y = \{(-4 + 8x) - 16x + 4(1 + 2x)\}e^{-2x} = 0$ 。

特殊解の求め方

未定係数法の解の形

多項式×指数: $f(x) = P_m(x)e^{\mu x} \ \Rightarrow\ y_p = x^kQ_m(x)e^{\mu x}$
$P_m, Q_m$ は $m$ 次多項式。 $k$ は $\mu$ が特性方程式の根である重複度（根でなければ $k = 0$ ）。
三角関数を含む: $f(x) = e^{\alpha x}\{P(x)\cos\beta x + R(x)\sin\beta x\} \ \Rightarrow\ y_p = x^ke^{\alpha x}\{S(x)\cos\beta x + T(x)\sin\beta x\}$
$S, T$ は $P, R$ の次数の大きい方の次数の多項式。 $k$ は $\alpha + i\beta$ の根としての重複度。
定数変化法（2階）: $y'' + p(x)y' + q(x)y = f(x) \ \Rightarrow\ y_p = -y_1\int\frac{y_2f}{W}\,dx + y_2\int\frac{y_1f}{W}\,dx$
$y_1, y_2$ は斉次方程式の基本解、 $W = y_1y_2' - y_1'y_2$ 。 $y''$ の係数を1にしてから使う。

右辺 $e^{\mu x}$ の $\mu$ が特性方程式の根になる場合を共鳴という。このとき $Ae^{\mu x}$ は斉次方程式の解なので $L[Ae^{\mu x}] = 0$ となり、右辺に合わせられない。 $x^k$ を掛けた形にする。

計算例

未定係数法と初期値問題

$y'' - 3y' + 2y = e^{3x}$ 、 $y(0) = 0$ 、 $y'(0) = 0$ を解け。

解答

特性方程式 $\lambda^2 - 3\lambda + 2 = (\lambda - 1)(\lambda - 2) = 0$ から斉次解は $C_1e^{x} + C_2e^{2x}$ 。 $3$ は根でないので $y_p = Ae^{3x}$ とおくと $(9 - 9 + 2)A = 1$ 、 $A = \frac{1}{2}$ 。

一般解 $y = C_1e^{x} + C_2e^{2x} + \frac{1}{2}e^{3x}$ に初期値を入れて $C_1 + C_2 + \frac{1}{2} = 0$ 、 $C_1 + 2C_2 + \frac{3}{2} = 0$ 。よって $C_2 = -1$ 、 $C_1 = \frac{1}{2}$ で

y = \frac{1}{2}e^{x} - e^{2x} + \frac{1}{2}e^{3x}

検算

$y(0) = \frac{1}{2} - 1 + \frac{1}{2} = 0$ 、 $y'(0) = \frac{1}{2} - 2 + \frac{3}{2} = 0$ 。ラプラス変換で解くと $Y = \frac{1}{(s - 1)(s - 2)(s - 3)}$ を部分分数に分けて同じ式になる。

計算例

共鳴するときの特殊解

$y'' + y = \cos x$ の特殊解を求めよ。

解答

特性根は $\pm i$ で、右辺の $\cos x$ は $e^{ix}$ の実部だから $k = 1$ 。 $y_p = x(A\cos x + B\sin x)$ とおくと $y_p'' + y_p = -2A\sin x + 2B\cos x$ 。これが $\cos x$ に等しいので $A = 0$ 、 $B = \frac{1}{2}$ で、 $y_p = \frac{1}{2}x\sin x$ 。

検算

$y_p' = \frac{1}{2}\sin x + \frac{1}{2}x\cos x$ 、 $y_p'' = \cos x - \frac{1}{2}x\sin x$ で、 $y_p'' + y_p = \cos x$ 。振幅が $x$ に比例して増える。

計算例

定数変化法

$y'' + y = \frac{1}{\cos x}$ （ $-\frac{\pi}{2} < x < \frac{\pi}{2}$ ）の一般解を求めよ。

解答

右辺が未定係数法の形でないので定数変化法を使う。 $y_1 = \cos x$ 、 $y_2 = \sin x$ 、 $W = \cos^2x + \sin^2x = 1$ 。

y_p = -\cos x\int\frac{\sin x}{\cos x}\,dx + \sin x\int 1\,dx = \cos x\log(\cos x) + x\sin x

一般解は $y = C_1\cos x + C_2\sin x + \cos x\log(\cos x) + x\sin x$ 。区間で $\cos x > 0$ なので絶対値は要らない。

検算

$\cos x\log(\cos x)$ の部分を2回微分して足すと $\frac{\sin^2x}{\cos x} - \cos x$ 、 $x\sin x$ の部分は $2\cos x$ を与える。和は $\frac{\sin^2x}{\cos x} + \cos x = \frac{1}{\cos x}$ で、右辺に一致する。

減衰振動の3つの場合

質量 $m$ 、抵抗係数 $c$ 、ばね定数 $k$ の運動方程式 $mx'' + cx' + kx = 0$ は、 $\gamma = \frac{c}{2m}$ 、 $\omega_0 = \sqrt{k/m}$ とおくと $x'' + 2\gamma x' + \omega_0^2x = 0$ になる。特性根は $-\gamma \pm \sqrt{\gamma^2 - \omega_0^2}$ で、根の種類で運動が分かれる。

$\gamma < \omega_0$ （減衰振動）： $x = e^{-\gamma t}(A\cos\omega_dt + B\sin\omega_dt)$ 、 $\omega_d = \sqrt{\omega_0^2 - \gamma^2}$ 。\n- $\gamma = \omega_0$ （臨界減衰）： $x = (A + Bt)e^{-\gamma t}$ 。\n- $\gamma > \omega_0$ （過減衰）： $x = Ae^{\lambda_+t} + Be^{\lambda_-t}$ 、 $\lambda_\pm = -\gamma \pm \sqrt{\gamma^2 - \omega_0^2} < 0$ 。

$\gamma$ と $\omega_0$ はどちらも時間の逆数の次元をもつ。RLC回路の $Lq'' + Rq' + q/C = 0$ も同じ形で、 $\gamma = \frac{R}{2L}$ 、 $\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}$ になる。

係数が定数でない方程式のうち、オイラー型 $x^2y'' + axy' + by = 0$ （ $x > 0$ ）は $x = e^t$ と置き換えると定数係数の $\ddot y + (a - 1)\dot y + by = 0$ になる。例えば $x^2y'' - 2xy' + 2y = 0$ は $\lambda^2 - 3\lambda + 2 = 0$ から $y = C_1x + C_2x^2$ 。

答案でよくある誤り

1
重根 $\lambda$ の解を $C_1e^{\lambda x} + C_2e^{\lambda x}$ と書く。これは1つの解の定数倍にすぎず、2つ目の基本解は $xe^{\lambda x}$ である。
2
共鳴に気づかず $y_p = Ae^{\mu x}$ とおき、 $0 = e^{\mu x}$ のような矛盾に行き着く。右辺の指数 $\mu$ （三角関数なら $\alpha + i\beta$ ）が特性根かを先に調べ、重複度 $k$ だけ $x^k$ を掛ける。
3
初期条件を斉次解だけに当てはめてから特殊解を足す。初期条件は一般解 $y_h + y_p$ 全体に当てはめて $C_1, C_2$ を決める。
4
$y''$ の係数が1でない方程式に定数変化法の公式を当てはめる。 $a(x)y'' + \cdots = g(x)$ なら $a(x)$ で割り、 $f = g/a$ として使う。
5
複素根 $\alpha \pm i\beta$ の解を $e^{\alpha x}\cos\beta x$ だけにする。 $\sin\beta x$ の項も合わせて2つの基本解になる。
6
オイラー型 $x^2y'' + axy' + by = 0$ を定数係数とみて $e^{\lambda x}$ を代入する。 $x^r$ を代入して $r(r - 1) + ar + b = 0$ を解くか、 $x = e^t$ と置き換える。

微分方程式の前後の単元

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