偏微分方程式と変数分離法熱方程式・波動方程式・ラプラス方程式の解き方

変数分離法は、解を $u(x, t) = X(x)T(t)$ とおいて偏微分方程式を2つの常微分方程式に分ける方法である。境界条件から $X'' + \lambda X = 0$ の固有値問題を解き、各固有関数と時間の解の積を重ね合わせる。係数は初期条件のフーリエ級数展開で決める。熱方程式では各項が $e^{-\kappa\lambda_nt}$ で減衰し、波動方程式では各項が角振動数 $c\sqrt{\lambda_n}$ で振動する。

微分方程式の第4単元（全4単元）。先に読む単元：定数係数線形微分方程式、フーリエ解析とラプラス変換・フーリエ級数

院試数学基礎完成シリーズ微分積分編

基礎ノートと類題を答案の形で解いた問題集（2,480円）。収録章と見本ページを商品ページで確認できる。過去問の本文は収録していない。

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代表的な方程式と境界条件

定義

2階線形偏微分方程式の分類

$Au_{xx} + Bu_{xy} + Cu_{yy} + (\text{1階以下の項}) = 0$ （ $A, B, C$ は定数）を、判別式 $B^2 - 4AC$ の符号で分類する。

$B^2 - 4AC < 0$ ：楕円型。ラプラス方程式 $u_{xx} + u_{yy} = 0$ 。\n- $B^2 - 4AC = 0$ ：放物型。熱方程式（拡散方程式） $u_t = \kappa u_{xx}$ 。\n- $B^2 - 4AC > 0$ ：双曲型。波動方程式 $u_{tt} = c^2u_{xx}$ 。

$\kappa > 0$ は熱拡散率（単位 $\mathrm{m^2/s}$ ）、 $c > 0$ は波の速さである。

定義

境界条件と初期条件

区間の端で $u$ の値を与える条件をディリクレ条件、 $u_x$ の値を与える条件をノイマン条件という。両端で0なら斉次境界条件という。熱方程式には初期条件 $u(x, 0)$ が1つ、波動方程式には $u(x, 0)$ と $u_t(x, 0)$ の2つが必要である。

定理・法則

熱方程式の解の一意性

条件

$u$ は $[0, L]\times[0, T]$ で連続、 $0 < x < L$ 、 $0 < t \le T$ で $u_t, u_{xx}$ が連続で、 $u_t = \kappa u_{xx}$ を満たす。

主張

$u$ の最大値と最小値は、 $t = 0$ の辺か両端 $x = 0, L$ でとる（最大値原理）。したがって初期値と境界値を与えた解はただ1つである。

要点

2つの解の差 $w$ について $E(t) = \int_0^L w^2\,dx$ とおくと、部分積分で $E'(t) = -2\kappa\int_0^L w_x^2\,dx \le 0$ 、 $E(0) = 0$ から $w = 0$ としても示せる。

変数分離で出る固有値問題

定理・法則

区間 [0, L] の固有値問題

条件

$X'' + \lambda X = 0$ （ $0 < x < L$ ）に、両端で同じ種類の斉次境界条件を課す。

主張

ディリクレ条件 $X(0) = X(L) = 0$ ： $\lambda_n = \left(\frac{n\pi}{L}\right)^2$ 、 $X_n = \sin\frac{n\pi x}{L}$ （ $n = 1, 2, \dots$ ）。\n- ノイマン条件 $X'(0) = X'(L) = 0$ ： $\lambda_n = \left(\frac{n\pi}{L}\right)^2$ 、 $X_n = \cos\frac{n\pi x}{L}$ （ $n = 0, 1, 2, \dots$ ）。 $\lambda_0 = 0$ に定数解が対応する。

どちらも固有関数は $[0, L]$ で互いに直交し、2乗可積分な関数はその級数に展開できる。

要点

ディリクレ条件で $\lambda < 0$ とすると $X = A\cosh\mu x + B\sinh\mu x$ （ $\mu = \sqrt{-\lambda}$ ）で、 $X(0) = 0$ から $A = 0$ 、 $X(L) = 0$ から $B = 0$ 。 $\lambda = 0$ でも $X = A + Bx$ が0になる。ノイマン条件では $\lambda = 0$ の定数解が残るので、場合分けを省かない。

手順は次のとおり。\n1. $u = X(x)T(t)$ を代入し、 $x$ だけの式と $t$ だけの式に分ける。両辺は定数でなければならず、それを $-\lambda$ とおく。\n2. 境界条件を $X$ に移し、上の固有値問題を解く。\n3. 各 $\lambda_n$ について $T_n$ を解き、 $u = \sum c_nX_nT_n$ と重ね合わせる。\n4. 初期条件を $X_n$ でフーリエ級数に展開して $c_n$ を決める。

熱方程式を解く

計算例

両端を0度に保った棒の温度

$u_t = \kappa u_{xx}$ （ $0 < x < \pi$ 、 $t > 0$ ）、 $u(0, t) = u(\pi, t) = 0$ 、 $u(x, 0) = x(\pi - x)$ を解け。

解答

$u = X(x)T(t)$ とおくと $\frac{X''}{X} = \frac{T'}{\kappa T} = -\lambda$ 。ディリクレ条件から $\lambda_n = n^2$ 、 $X_n = \sin nx$ 、 $T_n = e^{-\kappa n^2t}$ 。初期条件の正弦級数の係数は

b_n = \frac{2}{\pi}\int_0^{\pi}x(\pi - x)\sin nx\,dx = \frac{4\{1 - (-1)^n\}}{\pi n^3}

で、奇数の $n$ で $\frac{8}{\pi n^3}$ 、偶数で0。よって

u(x, t) = \frac{8}{\pi}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{e^{-\kappa(2k-1)^2t}}{(2k - 1)^3}\sin(2k - 1)x

検算

$t = 0$ 、 $x = \frac{\pi}{2}$ で $\frac{8}{\pi}\left(1 - \frac{1}{27} + \frac{1}{125} - \cdots\right) = \frac{8}{\pi}\cdot\frac{\pi^3}{32} = \frac{\pi^2}{4}$ となり、 $x(\pi - x) = \frac{\pi^2}{4}$ と一致する。長さ $L$ の棒では指数が $-\kappa(n\pi/L)^2t$ になり、 $\kappa t/L^2$ は無次元である。 $t$ が大きいと第1項 $\frac{8}{\pi}e^{-\kappa t}\sin x$ だけが残る。

境界条件が斉次でない場合は、先に定常解を引く。 $u(0, t) = T_0$ 、 $u(L, t) = T_1$ なら、 $u_s'' = 0$ を満たす $u_s = T_0 + (T_1 - T_0)\frac{x}{L}$ を求め、 $w = u - u_s$ とおくと $w$ は斉次境界条件の熱方程式を満たす。

両端を断熱したノイマン条件 $u_x(0, t) = u_x(L, t) = 0$ では余弦級数になり、 $t \to \infty$ で $u$ は初期温度の平均 $\frac{1}{L}\int_0^L u(x, 0)\,dx$ に近づく。熱が出入りしないので、平均温度は時間によらない。

波動方程式とラプラス方程式を解く

定理・法則

ダランベールの公式

条件

$u_{tt} = c^2u_{xx}$ （ $-\infty < x < \infty$ 、 $t > 0$ ）、 $u(x, 0) = f(x)$ 、 $u_t(x, 0) = g(x)$ で、 $f$ は2回、 $g$ は1回連続微分可能。

主張

u(x, t) = \frac{f(x - ct) + f(x + ct)}{2} + \frac{1}{2c}\int_{x-ct}^{x+ct}g(s)\,ds

要点

$\xi = x - ct$ 、 $\eta = x + ct$ と変数を変えると方程式は $u_{\xi\eta} = 0$ になり、 $u = F(x - ct) + G(x + ct)$ が一般解になる。両端固定の弦では、 $f, g$ を奇関数かつ周期 $2L$ に延長して使う。

計算例

両端を固定した弦の振動

$u_{tt} = c^2u_{xx}$ （ $0 < x < L$ ）、 $u(0, t) = u(L, t) = 0$ 、 $u(x, 0) = \sin\frac{\pi x}{L} + \frac{1}{2}\sin\frac{3\pi x}{L}$ 、 $u_t(x, 0) = 0$ を解け。

解答

変数分離で $X_n = \sin\frac{n\pi x}{L}$ 、 $T_n'' + \left(\frac{n\pi c}{L}\right)^2T_n = 0$ 。 $u_t(x, 0) = 0$ から $T_n$ は余弦だけになり、初期変位はすでに正弦級数の形なので

u(x, t) = \sin\frac{\pi x}{L}\cos\frac{\pi ct}{L} + \frac{1}{2}\sin\frac{3\pi x}{L}\cos\frac{3\pi ct}{L}

検算

積和の公式 $\sin a\cos b = \frac{\sin(a - b) + \sin(a + b)}{2}$ を使うと $u = \frac{f(x - ct) + f(x + ct)}{2}$ となり、ダランベールの公式と一致する。基本振動の周期は $\frac{2L}{c}$ で、 $L/c$ は時間の次元をもつ。

計算例

長方形でのラプラス方程式

$u_{xx} + u_{yy} = 0$ （ $0 < x < a$ 、 $0 < y < b$ ）、 $u(0, y) = u(a, y) = 0$ 、 $u(x, 0) = 0$ 、 $u(x, b) = \sin\frac{\pi x}{a}$ を解け。

解答

$u = X(x)Y(y)$ とおくと $X'' + \lambda X = 0$ 、 $Y'' - \lambda Y = 0$ 。 $x$ 方向のディリクレ条件から $\lambda_n = \left(\frac{n\pi}{a}\right)^2$ 、 $X_n = \sin\frac{n\pi x}{a}$ 。 $Y(0) = 0$ を満たす解は $Y_n = \sinh\frac{n\pi y}{a}$ 。 $y = b$ の条件は $n = 1$ の項だけで満たせるので

u(x, y) = \frac{\sinh(\pi y/a)}{\sinh(\pi b/a)}\sin\frac{\pi x}{a}

検算

$u_{xx} = -\left(\frac{\pi}{a}\right)^2u$ 、 $u_{yy} = \left(\frac{\pi}{a}\right)^2u$ で和は0。4辺の条件も満たす。最大値は境界の $(a/2, b)$ でとる値1で、ラプラス方程式の最大値原理と合う。一般の $u(x, b) = h(x)$ なら $h$ の正弦級数の係数を $\sinh\frac{n\pi b}{a}$ で割る。

答案でよくある誤り

1
分離定数の符号を決め打ちし、 $\lambda \le 0$ の場合を調べない。ディリクレ条件では $\lambda \le 0$ で自明な解しかないことを示し、ノイマン条件では $\lambda = 0$ の定数解を級数に含める。
2
境界条件に合わない展開を使う。両端で $u = 0$ なら正弦級数、両端で $u_x = 0$ なら余弦級数で、 $[0, L]$ の関数を奇関数か偶関数のどちらに延長するかが境界条件で決まる。
3
非斉次境界条件のまま変数分離する。 $u(0, t) = T_0 \neq 0$ では積 $X(0)T(t) = T_0$ がすべての $t$ で成り立たない。定常解を引いて斉次境界条件に直してから分離する。
4
熱方程式の時間因子を $e^{-\lambda_nt}$ とし、 $\kappa$ を落とす。 $T_n' = -\kappa\lambda_nT_n$ から $T_n = e^{-\kappa\lambda_nt}$ で、 $\lambda_n = (n\pi/L)^2$ を入れると $e^{-\kappa n^2\pi^2t/L^2}$ になる。
5
波動方程式で初期速度の条件を使わない。 $T_n = A_n\cos\omega_nt + B_n\sin\omega_nt$ の $B_n$ は $u_t(x, 0) = g(x)$ の正弦級数の係数を $\omega_n = \frac{n\pi c}{L}$ で割って決める。

偏微分方程式と変数分離法が出た院試の過去問

院試hubが年度別解説の大問を分類した集計から、この単元の内容を扱う出題を挙げる。問題文は各大学の公式過去問で確かめ、解き方は各年度の解説ページで読める。

拡散方程式

5大学・9問（2024〜2026年度）

新しい年度の出題

京都大学数学・機械力学・専門科目 2026年度第5問平板の突然運動による非定常粘性流れ
北海道大学大学院専門科目 2026年度第5問微分方程式
東京大学機械工学専門科目 2026年度第2問非定常粘性拡散
北海道大学大学院専門科目（地球惑星科学） 2025年度第3問I-3 フーリエ変換と拡散方程式
東京大学数理情報学 2025年度第2問相分離モデルとエネルギー
東京科学大学システム制御系数学 2024年度第4問拡散方程式とラプラス変換

拡散方程式の出題実績（大学×年度）をすべて見る

微分方程式の前後の単元

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院試数学基礎完成シリーズ微分積分編

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