フーリエ級数係数の求め方・収束定理・ギブズ現象

周期 $2L$ の関数 $f$ を $\cos(n\pi x/L)$ と $\sin(n\pi x/L)$ の和で表したものをフーリエ級数という。係数は $a_n = \frac{1}{L}\int_{-L}^{L} f(x)\cos\frac{n\pi x}{L}\,dx$ 、 $b_n = \frac{1}{L}\int_{-L}^{L} f(x)\sin\frac{n\pi x}{L}\,dx$ で求める。 $f$ が区分的に滑らかなら、級数は連続点で $f(x)$ に、不連続点で左右の極限の平均に収束する。不連続点の近くでは部分和の行き過ぎが項数を増やしても残り、これをギブズ現象という。

フーリエ解析とラプラス変換の第1単元（全3単元）。

院試数学基礎完成シリーズ微分積分編

基礎ノートと類題を答案の形で解いた問題集（2,480円）。収録章と見本ページを商品ページで確認できる。過去問の本文は収録していない。

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フーリエ係数とフーリエ級数の定義

定義

実形式のフーリエ級数

$f$ を周期 $2L$ の関数で、1周期 $[-L, L]$ で積分できるものとする。

a_n = \frac{1}{L}\int_{-L}^{L} f(x)\cos\frac{n\pi x}{L}\,dx \quad (n \ge 0), \qquad b_n = \frac{1}{L}\int_{-L}^{L} f(x)\sin\frac{n\pi x}{L}\,dx \quad (n \ge 1)

をフーリエ係数といい、

f(x) \sim \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty}\left(a_n\cos\frac{n\pi x}{L} + b_n\sin\frac{n\pi x}{L}\right)

をフーリエ級数という。 $a_0$ を2で割るのは、 $a_n$ の式を $n = 0$ にもそのまま使うためである。 $\frac{a_0}{2}$ は1周期での平均値に等しい。記号 $\sim$ は、右辺が収束するか、収束しても $f(x)$ に等しいかをまだ問わないことを表す。

定義

複素形式のフーリエ級数

f(x) \sim \sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n e^{i n\pi x/L}, \qquad c_n = \frac{1}{2L}\int_{-L}^{L} f(x)e^{-i n\pi x/L}\,dx

実形式との関係は $c_0 = \frac{a_0}{2}$ 、 $c_n = \frac{a_n - i b_n}{2}$ 、 $c_{-n} = \frac{a_n + i b_n}{2}$ （ $n \ge 1$ ）である。 $f$ が実数値なら $c_{-n} = \overline{c_n}$ になる。

係数の式は三角関数の直交性から出る。 $m, n \ge 1$ について $\int_{-L}^{L}\cos\frac{m\pi x}{L}\cos\frac{n\pi x}{L}\,dx = L\delta_{mn}$ 、 $\int_{-L}^{L}\sin\frac{m\pi x}{L}\sin\frac{n\pi x}{L}\,dx = L\delta_{mn}$ 、 $\int_{-L}^{L}\cos\frac{m\pi x}{L}\sin\frac{n\pi x}{L}\,dx = 0$ なので、級数に $\cos\frac{m\pi x}{L}$ を掛けて項別に積分すると $a_m$ だけが残る。

フーリエ級数が収束する条件

定理・法則

ディリクレの収束定理

条件

$f$ は周期 $2L$ で、1周期の中で区分的に滑らか（有限個の点を除いて $f$ と $f'$ が連続で、その点で $f$ と $f'$ の左右の極限が有限）とする。

主張

すべての $x$ でフーリエ級数は収束し、

\frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty}\left(a_n\cos\frac{n\pi x}{L} + b_n\sin\frac{n\pi x}{L}\right) = \frac{f(x+0) + f(x-0)}{2}

となる。 $f$ が $x$ で連続なら右辺は $f(x)$ である。

要点

部分和をディリクレ核との畳み込みで書き、リーマン・ルベーグの補題で余りが0に近づくことを示す。連続というだけでは足りず、連続関数でもフーリエ級数が発散する点をもつ例がある。

定理・法則

一様収束と項別微分

条件

$f$ は周期 $2L$ の連続関数（周期的に延長したときに $x = \pm L$ でもつながる）で、区分的に滑らかとする。

主張

フーリエ級数は $f$ に一様収束し、 $\sum(\lvert a_n\rvert + \lvert b_n\rvert) < \infty$ である。さらに $f'$ も区分的に滑らかなら、 $f'$ のフーリエ級数は $f$ の級数を項別に微分したものに等しい。

要点

不連続点のある $f$ では一様収束しない。連続関数の一様収束極限は連続なので、部分和（連続）が不連続な $f$ に一様収束することはない。一様収束の判定は一様収束の出題例でも扱う。

定理・法則

パーセバルの等式

条件

$f$ は周期 $2L$ で、 $\int_{-L}^{L}\lvert f(x)\rvert^2\,dx < \infty$ 。

主張

\frac{1}{L}\int_{-L}^{L}\lvert f(x)\rvert^2\,dx = \frac{\lvert a_0\rvert^2}{2} + \sum_{n=1}^{\infty}\left(\lvert a_n\rvert^2 + \lvert b_n\rvert^2\right) = 2\sum_{n=-\infty}^{\infty}\lvert c_n\rvert^2

要点

部分和が $f$ に2乗平均の意味で収束することと同値である。各点収束しない点があっても成り立つ。

係数の計算で使う公式

偶関数・奇関数と区間の取り方

偶関数: $f(-x) = f(x) \Rightarrow b_n = 0, \quad a_n = \frac{2}{L}\int_{0}^{L} f(x)\cos\frac{n\pi x}{L}\,dx$
余弦級数になる。
奇関数: $f(-x) = -f(x) \Rightarrow a_n = 0, \quad b_n = \frac{2}{L}\int_{0}^{L} f(x)\sin\frac{n\pi x}{L}\,dx$
正弦級数になる。
積分区間: $\int_{-L}^{L} g(x)\,dx = \int_{c}^{c+2L} g(x)\,dx \quad (g \text{ は周期 } 2L)$
$[0, 2\pi]$ で定義された関数は、そのまま $[0, 2\pi]$ で積分してよい。
よく出る値: $\cos n\pi = (-1)^n, \qquad \sin n\pi = 0, \qquad \sin\frac{n\pi}{2} = \begin{cases} 0 & (n \text{ が偶数}) \\ (-1)^{(n-1)/2} & (n \text{ が奇数}) \end{cases}$
半区間展開: $f \text{ が } [0, L] \text{ だけで与えられたとき：奇関数として延長} \to \text{正弦級数}, \ \text{偶関数として延長} \to \text{余弦級数}$
偏微分方程式の変数分離では、境界条件に合う延長を選ぶ。

矩形波と2次関数のフーリエ級数

計算例

矩形波の展開とライプニッツ級数

周期 $2\pi$ の関数 $f(x) = -1 \ (-\pi < x < 0)$ 、 $f(x) = 1 \ (0 < x < \pi)$ をフーリエ級数に展開し、 $1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \cdots$ の値を求めよ。

解答

$f$ は奇関数なので $a_n = 0$ 。 $L = \pi$ として

b_n = \frac{2}{\pi}\int_0^{\pi}\sin nx\,dx = \frac{2}{\pi}\cdot\frac{1 - \cos n\pi}{n} = \frac{2\{1 - (-1)^n\}}{n\pi}

$n$ が偶数なら $b_n = 0$ 、奇数なら $b_n = \frac{4}{n\pi}$ 。よって

f(x) = \frac{4}{\pi}\left(\sin x + \frac{\sin 3x}{3} + \frac{\sin 5x}{5} + \cdots\right) \quad (x \neq k\pi)

$x = \frac{\pi}{2}$ は連続点で $f = 1$ 、 $\sin\frac{(2k-1)\pi}{2} = (-1)^{k-1}$ なので $1 = \frac{4}{\pi}\left(1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \cdots\right)$ 、つまり $1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \cdots = \frac{\pi}{4}$ 。

検算

不連続点 $x = 0$ では級数の各項が0なので和は0で、左右の極限の平均 $\frac{-1 + 1}{2} = 0$ と一致する。パーセバルの等式では左辺 $\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}1\,dx = 2$ 、右辺 $\sum_{k}\frac{16}{\pi^2(2k-1)^2} = \frac{16}{\pi^2}\cdot\frac{\pi^2}{8} = 2$ で一致する。

項の数5

奇数次の項 sin x, sin 3x, …, sin 9x までの和。0 < x < π での最大値 1.1823（項を増やしても 1.179 付近に近づき、1 には下がらない）

項数を増やすと、矩形波（灰色）に部分和（緑）が近づく。不連続点 $x = 0, \pm\pi$ の近くの山は項数を増やすと不連続点に寄って細くなるが、高さは跳びの約9%だけ上に出たまま残る（ギブズ現象）。不連続点では部分和が中点の値0をとる。

計算例

$x^2$ の展開とバーゼル問題

$f(x) = x^2 \ (-\pi \le x \le \pi)$ を周期 $2\pi$ に延長してフーリエ級数に展開し、 $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}$ と $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n^2}$ を求めよ。

解答

偶関数なので $b_n = 0$ 。 $a_0 = \frac{2}{\pi}\int_0^{\pi}x^2\,dx = \frac{2\pi^2}{3}$ 。 $n \ge 1$ では部分積分を2回行って

a_n = \frac{2}{\pi}\int_0^{\pi}x^2\cos nx\,dx = \frac{2}{\pi}\left[\frac{2x\cos nx}{n^2}\right]_0^{\pi} = \frac{4(-1)^n}{n^2}

よって $x^2 = \frac{\pi^2}{3} + 4\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n^2}\cos nx$ 。延長した関数は連続で区分的に滑らかなので、この等号は $[-\pi, \pi]$ のすべての点で一様収束の意味で成り立つ。

$x = \pi$ を代入すると $\cos n\pi = (-1)^n$ から $\pi^2 = \frac{\pi^2}{3} + 4\sum\frac{1}{n^2}$ 、つまり $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}$ 。 $x = 0$ を代入すると $0 = \frac{\pi^2}{3} + 4\sum\frac{(-1)^n}{n^2}$ から $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n^2} = \frac{\pi^2}{12}$ 。

検算

2つの和の関係を別に確かめる。偶数番目の和は $\sum\frac{1}{(2m)^2} = \frac{1}{4}\cdot\frac{\pi^2}{6} = \frac{\pi^2}{24}$ なので、 $\sum\frac{(-1)^{n-1}}{n^2} = \frac{\pi^2}{6} - 2\cdot\frac{\pi^2}{24} = \frac{\pi^2}{12}$ で一致する。 $\frac{a_0}{2} = \frac{\pi^2}{3}$ は $x^2$ の平均値 $\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}x^2\,dx$ に等しい。

ギブズ現象の大きさ

矩形波の部分和 $S_N(x) = \frac{4}{\pi}\sum_{k=1}^{N}\frac{\sin(2k-1)x}{2k-1}$ は、 $x = \frac{\pi}{2N}$ で最大になる。 $N \to \infty$ でその値は

S_N\!\left(\frac{\pi}{2N}\right) \to \frac{2}{\pi}\operatorname{Si}(\pi) = \frac{2}{\pi}\int_0^{\pi}\frac{\sin u}{u}\,du \approx 1.179

に近づく。跳びの大きさ2に対して約0.179、つまり跳びの約9%（0.0895倍）だけ行き過ぎる。 $N = 10$ での最大値は約1.180、 $N = 200$ では約1.179で、項数を増やしても行き過ぎは小さくならない。各点収束は成り立つが、不連続点を含む区間で一様収束しないことの表れである。

行き過ぎを抑えるには、部分和の算術平均（フェイエール和）をとる。連続な周期関数ではフェイエール和が一様収束し、矩形波でも値が $[-1, 1]$ の外に出ない。

答案でよくある誤り

1
定数項を $a_0$ のまま書く。 $a_n$ の式で $n = 0$ とした $a_0$ を使うなら、定数項は $\frac{a_0}{2}$ である。定数項を平均値 $\frac{1}{2L}\int_{-L}^{L} f\,dx$ で直接書いてもよい。
2
周期 $2L$ の関数に周期 $2\pi$ の公式を使う。 $\cos nx$ を $\cos\frac{n\pi x}{L}$ に、係数の前を $\frac{1}{L}$ に置き換える。
3
不連続点で級数の値を $f(x)$ とする。区分的に滑らかな関数のフーリエ級数は、不連続点で $\frac{f(x+0) + f(x-0)}{2}$ に収束する。区間の端 $x = \pm L$ も、周期的に延長したときの左右の値で判定する。
4
$\cos n\pi$ を1とする。 $\cos n\pi = (-1)^n$ で、 $1 - (-1)^n$ は偶数の $n$ で0、奇数の $n$ で2になる。
5
不連続な関数の級数を項別に微分する。矩形波の級数を項別に微分すると $\frac{4}{\pi}\sum\cos(2k-1)x$ になり、どの点でも収束しない。項別微分は $f$ が連続で $f'$ が区分的に滑らかなときに限る。
6
ギブズ現象を、項数が足りないための誤差とみなす。行き過ぎの高さは項数を増やしても跳びの約9%に近づくだけで0にならない。