電通大 情報理工学研究科 専門科目（基礎数学・力学） 2026年度 院試 過去問 解答例・解説（解説2項目）

線形代数

与えられた行列は、全成分が $1$ の行列 $J$ と単位行列 $I$ を用いて $$A=J-I$$ と書ける。したがって任意の $x\in\mathbb{R}^{4}$ について $$Ax=(\mathbf{1}^{\mathsf T}x)\mathbf{1}-x$$ である。

まず、指定されたベクトル $u$ は成分和が $0$ であるから、 $$Au=-u.$$

$A=J-I$ の固有値はすぐに読める。すなわち $$A\mathbf{1}=3\mathbf{1}$$ なので $\mathbf{1}=(1,1,1,1)^{\mathsf T}$ 方向の固有値は $3$ である。一方、成分和が $0$ の任意のベクトル $x$ では $Jx=0$ だから $$Ax=-x.$$ よって固有値は $$3,\quad -1$$ であり、$-1$ の固有空間は $$V=\{x\in\mathbb{R}^{4}\mid x_1+x_2+x_3+x_4=0\}$$ で、次元は $3$ である。

指定された三つのベクトルがこの固有空間 $V$ の基底になるには、それぞれの成分和が $0$ でなければならない。したがって $$\alpha=-1,\qquad \beta=-1,\qquad \gamma=-1.$$ このとき三つのベクトルは第2、第3、第4成分をそれぞれ独立に動かす形になっており、一次独立であるから $V$ の基底である。

最後に、$Av\in V$ の条件を調べる。任意の $x$ について $$\mathbf{1}^{\mathsf T}Ax=3\,\mathbf{1}^{\mathsf T}x$$ なので、$Av\in V$ と $\mathbf{1}^{\mathsf T}v=0$ は同値である。指定された $v$ の成分和は $7+k$ だから $$k=-7.$$

重積分

一つ目の積分は、指定領域を $x$ を外側にして見ると、$0\le x\le1$ の各 $x$ に対し $y$ が直線二本の間を動く。したがって $$I_1=\int_{0}^{1}\int_{x}^{2x}(2x+y)\,dy\,dx =\int_{0}^{1}\left[2xy+\frac{y^2}{2}\right]_{y=x}^{2x}dx =\int_{0}^{1}\frac{7}{2}x^2\,dx =\frac{7}{6}.$$

二つ目の積分では、平方根を含む境界を直線化するため $$X=\sqrt{x},\qquad Y=\sqrt{y}$$ とおく。すると $x=X^2,\ y=Y^2$ であり、ヤコビアンは $$\left|\frac{\partial(x,y)}{\partial(X,Y)}\right|=4XY$$ である。領域は $X\ge0,\ Y\ge0,\ X+Y\le1$ の三角形になるから、 $$I_2=\int_{0}^{1}\int_{0}^{1-X} XY\cdot 4XY\,dY\,dX =\frac{4}{3}\int_{0}^{1}X^2(1-X)^3\,dX.$$ $$\int_{0}^{1}X^2(1-X)^3\,dX =B(3,4)=\frac{2!\,3!}{6!}=\frac{1}{60}$$ より $$I_2=\frac{1}{45}.$$

フーリエ級数

対象の周期関数は偶関数なので、正弦係数はすべて $0$ である。周期を $2\pi$ として計算すると $$a_0=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}|x|\,dx=\pi.$$ また $$a_n=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}x\cos nx\,dx =\frac{2}{\pi}\frac{(-1)^n-1}{n^2}.$$ したがって偶数 $n$ では $a_n=0$、奇数 $n$ では $$a_n=-\frac{4}{\pi n^2}.$$ よって $$|x|=\frac{\pi}{2}-\frac{4}{\pi} \sum_{m=0}^{\infty}\frac{\cos(2m+1)x}{(2m+1)^2} \qquad (-\pi<x<\pi)$$ である。

ここで $x=0$ を代入すると左辺は $0$、右辺は $$\frac{\pi}{2}-\frac{4}{\pi} \left(1+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{5^2}+\cdots\right)$$ であるから、 $$1+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{5^2}+\cdots=\frac{\pi^2}{8}.$$