電通大 情報理工学研究科 専門科目（基礎数学・力学） 2026年度 院試 解答例・解説

行列を $J-I$ と見る

この行列は成分を一つずつ計算するより、全成分が $1$ の行列 $J$ を使って見る方が速い。$J$ は「成分和を全成分に並べる」作用なので、成分和 $0$ の空間全体が一気に固有空間になる。固有値を直接行列式で計算すると時間を使いやすいが、構造を見れば数行で終わる。

変数変換の採点点

二つ目の重積分では、境界の $\sqrt{x}+\sqrt{y}\le1$ を見た時点で $X=\sqrt{x},Y=\sqrt{y}$ を選ぶ。ここでヤコビアン $4XY$ を落とすと答えが大きく変わる。領域変換、被積分関数、ヤコビアンの三つを別々に書くと答案が安定する。

フーリエ級数の検算

偶関数なので $b_n=0$ になること、$|x|$ は非負なので定数項 $\pi/2$ が正であることが検算になる。また $x=0$ を代入した級数和は $\pi^2/8$ で、既知の $\sum_{n=1}^{\infty}1/n^2=\pi^2/6$ と矛盾しない。奇数項だけの和は全体から偶数項を引けば $\pi^2/6-\pi^2/24=\pi^2/8$ である。

摩擦力の向き

転がり問題で最も多いミスは、摩擦力を「運動に逆向き」と機械的に置くことである。この問題では摩擦力がなければ円板は斜面下向きに並進するだけで、回転を増やすトルクが生じない。接触点で滑らないためには円板を回すトルクが必要なので、摩擦力は斜面上向きに働く。

加速度の検算

滑らずに転がる円板の加速度は $$\frac{g\sin\theta}{1+I/(Ma^2)} =\frac{g\sin\theta}{1+1/2} =\frac{2}{3}g\sin\theta$$ である。これは上の連立方程式から得た値と一致する。球なら係数が $5/7$ になるので、円板で $2/3$ という値は妥当である。

静止摩擦は仕事をしない

滑らない転がりでは、接触点は瞬間的に静止しているため、静止摩擦は全エネルギーを減らさない。重力によって失われた位置エネルギーが並進と回転に分配される。ここでは $E_r/E_t=1/2$ なので、全運動エネルギーのうち $1/3$ が回転、$2/3$ が並進に入る。