電通大 情報理工学研究科 専門科目（基礎数学・力学） 2024年度 院試 解答例・解説

固有ベクトルの判定は成分比を見る

$AP_i$ を計算した後、成分ごとの比が一致するかを見るだけで固有ベクトルかどうかを判定できる。零成分がある場合は比を機械的に取るのではなく、ベクトル全体が同じ定数倍になっているかを確認する。$P_3$ は第2、第3成分だけを見ると $-1$ 倍に見えるが、第1、第4成分が合わないため固有ベクトルではない。

線積分は直接回るより Green の定理

長方形の各辺を別々に積分してもよいが、境界が反時計回りと指定されているので Green の定理を使うのが最短である。符号は $\partial g/\partial x-\partial f/\partial y$ の順であり、ここを逆にすると答えが $-9$ になる。

球面積分の検算

$Q=(x,y,z)$ は位置ベクトルそのものなので、単位球面上では外向き法線と一致する。したがって $Q\cdot n=1$ となり、面積分は球面積 $4\pi$ に等しい。これは発散定理から [数式]、体積 $4\pi/3$ としても同じ値になる。

基準座標の選び方

二つの同じ質量が左右対称に結ばれているときは、和 $x+y$ と差 $x-y$ を最初に試す。和は二つの質点が同じ向きに動くモードで、中央のばねは伸びない。差は二つの質点が逆向きに動くモードで、中央のばねが二倍効く。この物理的な見通しが、角振動数 $k/m$ と $(k+2k')/m$ の違いにそのまま現れる。

微小振り子の復元力

振り子では角度を $\theta$ とすると $x\simeq l\theta$ であり、接線方向の重力成分は $-mg\sin\theta\simeq-mg\theta$ である。したがって水平変位で書けば $-mgx/l$ となる。ここで $-mgx$ としてしまうと次元が合わず、角振動数も $\sqrt{g}$ という不正な形になる。

うなりの読み取り

二つの角振動数が近いと、$\bar{\omega}$ の速い振動に $\Delta\omega/2$ のゆっくりした包絡が掛かる。初めは右の質点だけが変位しているが、時間が進むと左の質点の振幅が大きくなり、右の質点の振幅が小さくなる。これはエネルギーが結合ばねを通じて交互に移る現象として理解できる。