電通大 情報理工学研究科 専門科目（基礎数学・力学） 2025年度 院試 解答例・解説

一次従属を先に見る

第3列が第1列と第2列の一次結合になることが分かれば、行列式はただちに $0$ である。固有値でも $0$ が必ず一つ出るので、特性多項式の検算にもなる。行列式展開だけで進めるより、列の関係を先に使う方が答案が短く、符号ミスも減る。

境界の向き

回転放物面の外向き法線は上向き成分を持つ。右ねじの向きに従えば、境界は上から見て反時計回りになる。ここが問題の指定と一致しているため、ストークスの定理をそのまま使ってよい。もし向きが逆なら、面積分と線積分の符号が反転する。

フーリエ係数の見通し

$\pi x$ は奇関数、$-x^2$ は偶関数である。したがって余弦係数は $-x^2$ だけ、正弦係数は $\pi x$ だけから出る。この分離を書いておくと、部分積分を二度行う箇所が明確になり、不要な計算を避けられる。

符号は物理で決める

モーメントの符号は、式を暗記するより復元力かどうかで確認する。$\theta>0$ のとき重力は $\theta$ を小さくする向きに回すため、運動方程式は必ず $I\ddot{\theta}=-Mg\ell\sin\theta$ になる。この符号が逆だと微小振動ではなく不安定な指数関数解になってしまう。

平行軸の定理を忘れない

一様球の $(2/5)MR^2$ は重心を通る軸まわりの値である。支点まわりの実体振り子では、球全体が支点から距離 $\ell$ のところを動くため $M\ell^2$ を足す。ここを落とすと周期、角運動量、連続回転条件のすべてがずれる。

連続回転条件の読み方

棒は軽い剛体なので、ひも振り子のように頂点で張力が非負である条件を追加する必要はない。必要なのはエネルギー的に頂点まで届くことである。等号は頂点でちょうど静止する極限で、実際に余裕をもって回転させるには不等号を厳しく満たせばよい。