電通大 情報理工学研究科 専門科目（基礎数学・力学） 2022年度 院試 解答例・解説

2次多項式に3つの根を持たせる発想

$aA^2+bA+cE=O$ を成分で直接比較しても解けるが、固有値が3つ相異なることを使うと一気に終わる。固有ベクトルに作用させると、同じ2次多項式が $3,1,-3$ で0になるからである。この見方は、最小多項式が3次であることを示している。

行列多項式は固有空間ごとに見る

$A^5-4A^4+3A^3$ をそのまま掛け算すると計算量が多い。対称行列で固有値が相異なるので、固有空間への射影に分けると、どの固有値で多項式が消えるかだけを見ればよい。今回は $-3$ の固有空間だけが残る。

極値と停留点を混同しない

停留点 $(-2,-1)$ は勾配が0になるが、ヘッセ行列の行列式が負であるため鞍点である。答案では停留点を列挙するだけでなく、極値かどうかの判定まで書く必要がある。

変数変換ではヤコビアンを最後まで残す

$u=x+y,\ v=x-y$ と置くと領域も被積分関数も単純になるが、面積要素は $dxdy=\frac12\,dudv$ である。この係数を落とすと答えが2倍ずれる。院試では変数変換の採点で最も落としやすい点である。

相対変位と絶対変位を分ける

この問題で最も間違えやすいのは、質点1の水平方向加速度を $\ddot{x}$ としてしまう点である。支点が動く場合、質点1の壁から見た位置は $X+x$ なので、慣性系での加速度は $\ddot{X}+\ddot{x}$ である。ここを外すと、可動支点によって振動数が大きくなる効果が出ない。

水平方向の外力がない場合は重心で検算できる

ばねがない可動支点の部分では、水平方向の外力がない。したがって $$(M+m)X+mx$$ は一定である。求めた解を代入すると $$(M+m)X(t)+mx(t)=(M+m)X_0+ml\theta_0$$ となり、運動量保存と整合している。この検算は符号ミスの発見に有効である。

振動しない点は重心の水平位置

糸上の振動しない点が現れるのは、支点の揺れと糸の傾きによる揺れがちょうど打ち消すからである。支点からの距離が $ml/(M+m)$ になることは、質点2を含めた水平重心の位置に対応している。答案では「どこから測った距離か」を明記すると採点上安全である。

基準振動は行列式で決める

ばね付きでは $x$ と $X$ が結合しているため、一方だけの単振動として扱うことはできない。$x=A\cos\omega t,\ X=B\cos\omega t$ とおき、振幅 $A,B$ に関する同次連立一次方程式を作る。非自明解の条件が行列式ゼロであり、そこから $\omega^2$ の二次方程式が出る。

$m\ll M$ の極限の見方

$m$ が十分小さいと、振り子が支点を動かす反作用は小さい。したがって一つのモードは通常の単振り子 $\sqrt{g/l}$、もう一つのモードは質点2とばねの $\sqrt{k/M}$ に近い。もし $g/l$ と $k/M$ が非常に近い場合は弱結合でもモード混合が目立つため、近似だけでなく厳密式を併記しておくのが安全である。