院試 信号処理の出題傾向と対策

信号処理の式を立てる前に、三つの区別をつけます。連続時間か離散時間か、過渡応答か定常応答か、そして因果性と安定性のどちらを問われているか。同じ変換式でも、定義や収束領域が違えば別の信号を表します。

範囲は志望先の募集要項と公式問題で確かめてください。そのうえで、このページの変換規約と初期条件、判定条件を見直します。

学部で身につけておく基礎

• 複素関数論：オイラーの公式、留数定理を使う複素積分、解析接続。逆ラプラス変換と逆z変換の留数計算で必ず使います
• 線形システム論：たたみ込み、インパルス応答、時不変性と線形性と因果性の定義。ほかの論点はすべてこの上に乗ります
• フーリエ級数：三角級数と複素指数の展開、パーセバルの等式、ギブス現象
• 常微分方程式と差分方程式：定数係数線形の同次・非同次。連続系と離散系の伝達関数はここから出ます
• 確率変数：期待値、分散、共分散、定常性、エルゴード性。自己相関と PSD で要ります
• 線形代数：直交基底、内積空間、固有値分解。フィルタの状態空間表現を扱うときにも、DFT の直交性を理解するときにも効いてきます

複素関数論は要注意です。学部の電気回路や制御工学で表面だけ触れた人は、極の留数を取る計算で躓きます。

論点別に見る出題と失点

信号処理の頻出論点は、連続時間側と離散時間側で対になっています。片方が分かれば、もう片方も読みやすくなります。以下は論点ごとの、答案で外せない書き方と点を落としやすい箇所です。

連続時間フーリエ変換とラプラス変換

よく出るのは、矩形パルスや三角パルス、指数減衰のフーリエ変換です。有限エネルギー信号のパーセバルの等式、周期信号の平均電力、ラプラス変換による伝達関数、初期値・最終値定理、極零配置と安定性の判定も頻出です。

フーリエ変換では、問題が指定する定義（規約）を先に見ます。F(ω) = ∫ f(t) e^(−iωt) dt か、F(f) = ∫ f(t) e^(−i2πft) dt か、対称型で (1/√(2π)) を前に置くか。どれを採るかで、反転公式とパーセバルの等式の係数が変わります。

教科書ごとに規約が違うので、問題の指定を優先し、使う定義を明記して反転公式の係数までそろえます。定義を宣言しただけでは、計算途中の係数の食い違いは直りません。

ラプラス変換は片側か両側か。初期条件を含めるのか、定常応答だけを見るのか。ここを書かないと、L[f′(t)] = sF(s) − f(0) の f(0) を黙って消した答案になりがちです。

因果的でプロパーな有理伝達関数のBIBO安定性は、約分後のすべての極が開左半平面にあることが条件です。虚軸上の単純極はこれを満たしません。零入力の状態が有界に保たれる安定性とは別物で、そちらでは虚軸固有値に対応するジョルダンブロックの大きさも確認します。

離散時間信号とz変換

出題は、単位インパルス δ[n]、単位ステップ u[n]、指数列 a^n u[n] のz変換が中心です。差分方程式の解法、伝達関数の極零配置、極が単位円内にあるかという安定性も出ます。

z変換では、極の位置だけでなく収束領域（ROC, Region of Convergence）から因果性と安定性を判定します。例えば a ≠ 0 とすると、X(z) = z / (z − a) という同じ式が、ROC が |z| > |a| なら因果列 a^n u[n] を、ROC が |z| < |a| なら反因果列 −a^n u[−n−1] を表します。

収束領域か、それを決める因果性などの条件がなければ、逆z変換の答えは一つに決まりません。

差分方程式では、特性方程式の根を求めてから初期条件を代入する、という順序を答案に書きます。z変換で解くか古典的な漸化式で解くかは、問題が指定しないことも多い。自分がどちらを採ったかを1行書いてから式に入ってください。

離散時間LTI系のBIBO安定性は、インパルス応答のz変換の収束領域が単位円を含むかで判定します。因果的な有理伝達関数の収束領域は最も外側の極の外側です。だから約分後のすべての極が単位円の内側にあれば安定。収束領域が原点を含むかどうかは、この条件とは関係ありません。

逆z変換を部分分数展開で求めるなら、分子と分母の最高次数の差を最初に見て、多項式の割り算が先に要るかを判断します。これを飛ばして部分分数展開に進むと、多項式部分に対応するインパルス列を取り落とします。z の正のべきと z⁻¹ のべきとでは、時間の進みと遅れが逆になる点にも注意してください。

収束領域と因果性の定義は、MIT Signals and Systemsの連続時間系・z変換の講義資料でも確認できます。

標本化定理とエイリアシング

信号が最高周波数 f_max 以下に帯域制限されているとき、標本化周波数を f_s > 2 f_max とすれば、複製されたスペクトルを分離して元の信号を復元できます。 f_s = 2 f_max のときは、帯域端の成分を含むかなどの条件次第で、いつでも復元できるわけではありません。

不等号だけを暗記しても足りません。問題の帯域条件と標本化の定義を読んでください。 この条件はMITの標本化定理の説明でも確認できます。

折り返し周波数は、整数 k を選んで |f − k f_s| が 0 以上 f_s/2 以下になるように求めます。図にするなら、スペクトルのコピーを k f_s ごとに描いて、重なる帯域を確かめましょう。

理想再構成フィルタは、元の信号帯域を通して隣のコピーを除くように選びます。標本値をそのまま重みにしたインパルス列ではスペクトルに係数 1/T_s が付くので、再構成フィルタの通過域利得は T_s = 1/f_s です。標本化の定義で別の係数を掛けた場合は、その係数も含めて利得を決めます。

ゼロ次ホールド（ZOH）を、0 ≤ t < T_s で高さ1、それ以外で0の矩形インパルス応答として表すと、周波数応答は T_s sinc(f T_s) e^(−iπ f T_s) です。ここでは sinc(x) = sin(πx)/(πx)、sinc(0) = 1 と定義します。

直流利得で正規化すれば先頭の T_s は消えます。振幅の低下を補償するかどうかは再構成の仕様次第で、ZOHの後ろにいつも補償フィルタが要るとは限りません。

線形時不変系（インパルス応答・周波数応答）

たたみ込み積分とたたみ込み和の計算、インパルス応答から周波数応答を出す問題、ステップ応答からインパルス応答を逆算する問題。因果系か、実現可能かの判定もよく出ます。

たたみ込みでは、2つの信号が同時に非零になる区間を確かめます。例えば a > 0、h(t) = e^(−at) u(t)、x(t) = u(t) なら、出力は t < 0 で0、t ≥ 0 で ∫_0^t e^(−aτ) dτ = (1 − e^(−at)) / a です。u(τ) と u(t−τ) の積が非零になるのは 0 ≤ τ ≤ t。これを図で示してから積分します。

周波数応答 H(jω) を求めたら、振幅特性 |H(jω)| と位相特性 ∠H(jω) を別々に書きます。ボード線図を求められたら、片対数軸での傾き（dB/decade）と折点周波数も明示してください。直流利得を1とした安定な1次ローパスなら、カットオフで約 −3 dB、位相は −45°。2次系では減衰と共振の有無を確かめ、指定された振幅や位相を求めます。

周波数領域で解くほうが速い問題と、時間領域でたたみ込みを直接計算するほうが速い問題を見分けられるかも問われます。入力が複素指数 e^(jω₀t) で定常応答だけを問うなら、H(jω₀) を代入すれば終わりです。たたみ込み積分は要りません。

初期条件を0とした過渡応答は、時間領域のたたみ込みでもラプラス変換でも求まります。フーリエ変換が使える条件なら、入力スペクトルとH(jω)を掛けて逆変換する手もあります。初期条件が0でなければ、初期状態による応答を足します。問題文が「定常」「過渡」「全応答」のどれを聞いているかを、式を立てる前に読み取ってください。

作図の手順はボード線図の書き方にあります。 定数倍と極、零点を分けて描き、ゲインと位相の実曲線を折れ線近似と見比べられます。

ディジタルフィルタ設計（FIR/IIR）

窓関数法による FIR ローパスフィルタ設計と、双線形変換による IIR フィルタ設計がよく出ます。インパルス不変変換、線形位相 FIR の対称条件、位相と安定性、計算量から見た FIR と IIR の比較も頻出です。

設計仕様（通過域端、阻止域端、通過域リップル、阻止域減衰量）と設計パラメータ（フィルタ次数、窓関数の種類、双線形変換のプリワーピング）がどう対応するかを確かめます。

窓関数法なら、まず理想ローパスのインパルス応答 h_d[n] = (ω_c/π) sinc(ω_c n/π) を書き、そこに窓 w[n] を掛けて打ち切ります。この2段階を分けて書いてください。窓を選んだ理由も設計仕様と結びつけます。ハミング窓ならサイドローブが約 −43 dB、ハニング窓なら −32 dB、矩形窓は −13 dB ですが遷移帯域が狭い、といった具合です。

双線形変換では、s = (2/T)(z−1)/(z+1) を代入して連続系のフィルタ H_a(s) を H_d(z) に写します。周波数は Ω = (2/T) tan(ω/2) と歪むので、指定周波数でプリワーピングをかけます。

実係数FIRの線形位相条件は、h[n] が中心対称（h[n] = h[N−1−n]）か中心反対称（h[n] = −h[N−1−n]）であること。答案にはこれを明記します。

DFT と FFT

DFT の定義式と直交性、循環たたみ込みと線形たたみ込みの違い、ゼロパディングを使った線形たたみ込みの計算。スペクトル漏れと窓関数、Cooley-Tukey FFT のバタフライ構造、O(N²) と O(N log N) の計算量比較も出ます。

長さNのDFT同士を掛けてIDFTを取ると、長さNの循環たたみ込みになります。線形たたみ込みが欲しいなら、両系列を少なくとも N1+N2−1 までゼロパディングしてから DFT を取る。この1行は答案から外さないでください。

スペクトル漏れは、観測区間が信号の周期の整数倍でないときに隣のビンへ漏れる現象です。対策は、ハニングやブラックマンなどの窓関数を時間領域で掛け、打ち切り端の不連続を和らげることです。

乗算回数は、アルゴリズムと数え方をそろえて比べます。直接計算のN点DFTは N² 回の複素乗算です。Nが2のべきの基数2 FFTは、各段 N/2 回を log₂N 段で (N/2) log₂N 回と数えるのが普通。これは1や±iなどの自明な乗算も含めた値で、工夫すれば実際の演算回数は変わります。

バタフライ構造を描く問題では、入出力のビット反転並べ替え、ツイドル因子 W_N = e^(−i2π/N) の指数の取り方、in-place 演算でデータがどう書き換わるかを順に図にします。基数2 FFT を 8点で1段ずつ追えるようにしておけば、本番で大きい N が出ても同じ構造に持ち込めるはずです。

ランダム信号と最適フィルタ

自己相関関数や定常性、パワースペクトル密度（PSD）を使うときは、時間平均とアンサンブル平均を区別します。広義定常性だけでは両者は一致しません。時間平均に置き換える量について、エルゴード性を確かめます。

既知の有限エネルギー信号が平均0の加法性白色雑音に埋もれ、因果性の制約を置かない場合を考えます。指定時刻Tでの出力SNRを最大にする整合フィルタは、時間反転共役 s*(T−t) の定数倍です。シュワルツ不等式の等号成立条件から導けます。

因果フィルタとして使うなら、信号の継続時間と検出時刻Tを確認してください。雑音のPSDが周波数で変わる場合は、その重みも入ります。

ウィーナーフィルタでは、観測信号と推定対象の相関と、フィルタに課す因果性などの条件を見ます。両信号が結合広義定常で非因果LTIフィルタを許す問題なら、観測信号のPSDと、観測信号と推定対象の相互スペクトルが必要です。

平均を除いた所望信号に、それと無相関な平均0の雑音が加わる設定なら、それぞれのPSDで表せます。ただ、どんな設定でも2つのPSDだけで決まるわけではありません。 前提と導出はMITのランダム信号と線形システムの講義資料を参照してください。