院試 信号処理の出題傾向と対策

信号処理は、電気・電子・情報通信系の院試で「数学が試される専門科目」として配点の大きな割合を占めます。問われているのは公式の記憶量ではなく、連続時間と離散時間の対応を頭の中で行き来できるかという1点です。同じ周波数応答の議論を、ラプラス変換のs領域で書くか、フーリエ変換のω領域で書くか、z変換の単位円上で書くかは、対象が連続系か離散系か、初期条件を含めるか定常応答だけ見るかによって決まります。この使い分けが曖昧なまま過去問に入ると、解けたつもりでも採点者から見れば「どの設定で議論しているか分からない答案」になり、部分点も入りません。本記事では、信号処理を出題する研究科の傾向、連続・離散それぞれの論点と頻出失点、外部生が陥りがちな構造的な穴、残り月数別のロードマップまでを実務マップとして整理します。

この分野が出題される大学・研究科

信号処理を主要試験科目として出題するのは、東京大学 情報理工学系研究科 電子情報学、九州大学 システム情報科学府 電気電子工学 専門科目、東北大学 工学研究科 電気・情報工学（基礎・専門）、東京科学大学 工学院 情報通信系・電気電子系、電気通信大学 情報理工学研究科 電気・電子・光デバイスなどです。研究科の系統で出題の重心がはっきり分かれます。電気電子系では連続時間のラプラス変換と回路理論を絡めた問題（伝達関数の極零配置、安定性、フィードバック）が中心で、情報通信系ではディジタル信号処理（サンプリング、FIRフィルタ設計、DFT/FFT、ランダム信号）が中心。連続・離散の境目（サンプリング定理、ゼロ次ホールド再構成、エイリアシング、双線形変換）は系統を問わず必ず1問は出ます。志望研究科の試験区分は年度によって科目構成が組み替わることがあるため、想像で対策を始めず、最新の募集要項を必ず直接確認してください。

学部段階で固めておくべき基礎

信号処理の演習に入る前に、最低限ここまでは詰めておく必要があります。基礎数学が崩れた状態で過去問を回しても、解説の式変形が追えず時間だけが過ぎていきます。

• 複素関数論：オイラーの公式、複素積分（留数定理）、解析接続。逆ラプラス変換と逆z変換の留数計算で必須
• 線形システム論：たたみ込み、インパルス応答、時不変性・線形性・因果性の定義。あらゆる論点の土台
• フーリエ級数：周期信号の三角級数・複素指数展開、パーセバルの等式、ギブス現象
• 常微分方程式・差分方程式：定数係数線形（同次・非同次）。連続系と離散系の伝達関数を出す入口
• 確率変数の基礎：期待値・分散・共分散、定常性、エルゴード性。ランダム信号の自己相関と PSD で必須
• 線形代数：直交基底、内積空間、固有値分解。フィルタの状態空間表現と DFT の直交性の理解で効く

とくに複素関数論は、学部の電気回路や制御工学で表面的に触れただけだと、極の留数を取る計算で躓きます。怪しい場合は信号処理の演習に入る前に1〜2週間を確保し、複素積分の章末問題を留数定理まで自力で完答できる状態に戻してから進んだ方が、結果として近道になります。

論点別に見る出題と失点

信号処理の頻出論点は連続時間側と離散時間側で対をなしていて、片方を理解すると他方の理解も同時に進む構造になっています。1論点ずつ、答案で外せない作法と失点パターンを見ていきます。

連続時間フーリエ変換とラプラス変換

頻出は、矩形パルス・三角パルス・指数減衰のフーリエ変換、パーセバルの等式による電力計算、ラプラス変換の伝達関数表現、初期値・最終値定理、極零配置と安定性の判定。最大の失点源は、フーリエ変換の定義（規約）を答案冒頭で明示しないことです。F(ω) = ∫ f(t) e^(−iωt) dt を採るのか、F(f) = ∫ f(t) e^(−i2πft) dt を採るのか、あるいは対称型の (1/√(2π)) を前置するのかで、反転公式とパーセバルの等式の係数が変わります。教科書ごとに規約が違うので、最初に1行「本問では F(ω) = ∫ f(t) e^(−iωt) dt の定義を採る」と書くだけで採点者の心象が変わり、係数違いを「規約の問題」として処理してもらえます。ラプラス変換では、片側か両側か、初期条件を含めるか定常応答だけ見るかを明示しないと、L[f'(t)] = sF(s) − f(0) の f(0) を勝手に消した答案になりがちです。極零配置から安定性を判定する問題では、安定の十分条件（全ての極が左半平面）と必要条件を分けて書かないと、虚軸上の単純極を持つ系を「不安定」と即断する典型失点に陥ります。

離散時間信号とz変換

頻出は、単位インパルス δ[n]・単位ステップ u[n]・指数列 a^n u[n] のz変換、差分方程式の解法、伝達関数の極零配置、安定性（極の単位円内）。最大の失点源は、z変換の収束領域（ROC, Region of Convergence）を書かずに極の位置だけで因果性・安定性を判定することです。例えば X(z) = z / (z − a) という同じ式が、ROC が |z| > |a| なら因果列 a^n u[n] を、ROC が |z| < |a| なら反因果列 −a^n u[−n−1] を意味します。逆z変換の問題で ROC を明示しないと、答えが一意に定まらず採点不能になる。差分方程式の解法では、特性方程式の根を求めた後で初期条件を代入する順序を答案で明示する。z変換による解法と古典的な漸化式解法のどちらを採るかは問題が指定していないことが多いので、自分が採った方針を1行書いてから式に入ってください。安定性判定の問題で「極が単位円内」とだけ書く答案は、ROC が原点を含むかどうかへの言及がないため減点対象になります。因果かつ安定な LTI 系であれば「全ての極が単位円内、かつ ROC が外側を含み無限遠を含む」という二段で書くのが基本動作です。逆z変換を部分分数展開で求める場合、分子の最高次数と分母の最高次数の差で除算（多項式割り算）が先に必要になるかどうかを最初に判断する。これを忘れて部分分数展開に直行すると、有限長の遅延項を取り落として典型失点に陥ります。

標本化定理とエイリアシング

頻出は、ナイキスト周波数の計算、エイリアシングが発生する条件の判定、折り返しスペクトルの図示、理想低域通過フィルタによる再構成、ゼロ次ホールド（ZOH）による再構成の周波数特性。最大の失点は、エイリアシング条件の不等号の向きを取り違えることです。「信号の最高周波数を f_max、標本化周波数を f_s とするとき、エイリアシングが起きない条件は f_s ≥ 2 f_max」が正解で、> ではなく ≥ である点、左辺と右辺の取り違えに注意してください。実際にエイリアシングが起きた場合の折り返し周波数は |f − k f_s| を 0 ≤ f ≤ f_s/2 に折り畳んだものですが、図示問題ではスペクトルのコピーが ±k f_s の位置に等間隔で並ぶ様子をまず描き、その重なりとして折り返し成分を示してください。再構成の問題では、理想再構成フィルタの通過帯域幅を ±f_s/2 と書き、利得（1/f_s ではなく問題によっては 1）を明示する。ZOH は単に「保持」と書くだけでなく、周波数特性が sinc(f T_s) e^(−iπ f T_s) の形になり、その振幅減衰を補償するフィルタが後段に必要だという言及があると上位答案になります。

線形時不変系（インパルス応答・周波数応答）

頻出は、たたみ込み積分・たたみ込み和の計算、インパルス応答からの周波数応答の導出、ステップ応答からインパルス応答を逆算する問題、因果系・実現可能系の判定。最大の失点は、たたみ込みの積分区間の取り方を機械的に (−∞, ∞) と書いて、因果系での u(t) や u(t−τ) の存在を取り入れ忘れることです。例えば h(t) = e^(−at) u(t) と x(t) = u(t) のたたみ込みは ∫_0^t e^(−aτ) dτ = (1 − e^(−at)) / a となりますが、u(t) と u(t−τ) の積の非零区間が 0 ≤ τ ≤ t であることを図で示してから積分に入る順序を崩さないでください。周波数応答 H(jω) を求めたら、必ず振幅特性 |H(jω)| と位相特性 ∠H(jω) を別々に書き出し、ボード線図を要求された場合は片対数軸の傾き（dB/decade）と折点周波数を明示する。1次系ならカットオフで −3 dB と −45°、2次系なら共振点での Q 値の効きまで答案に出すと差がつきます。LTI 系の応答計算で「周波数領域で解いた方が速い問題」と「時間領域でたたみ込みを直接計算した方が速い問題」を見分けられるかも問われます。入力が複素指数 e^(jω₀t) の定常応答だけを問うなら H(jω₀) を代入するだけで終わり、たたみ込み積分は不要です。一方、入力が矩形パルスのように有限時間で非零の信号で過渡応答まで含めて求めよと指定された場合は、時間領域のたたみ込みかラプラス変換による式変形が必要になります。問題文の「定常」「過渡」「全応答」のどれを問うているかを最初に読み解いてから式を立ててください。

ディジタルフィルタ設計（FIR/IIR）

頻出は、窓関数法による FIR ローパスフィルタ設計、双線形変換による IIR フィルタ設計、インパルス不変変換、線形位相 FIR の対称条件、FIR と IIR の比較（位相、安定性、計算量）。失点パターンは、設計仕様（通過域端、阻止域端、通過域リップル、阻止域減衰量）と設計パラメータ（フィルタ次数、窓関数の種類、双線形変換のプリワーピング）の対応を答案上で接続しないことです。窓関数法の問題では、まず理想ローパスのインパルス応答 h_d[n] = (ω_c/π) sinc(ω_c n/π) を書き、それに窓 w[n] を乗じて打ち切る、という2段階を明示する。窓を選ぶ理由（ハミング窓ならサイドローブが約 −43 dB、ハニング窓なら −32 dB、矩形窓なら −13 dB だが遷移帯域が狭い）を1行書くと差がつきます。双線形変換の問題では s = (2/T)(z−1)/(z+1) の代入で連続系のフィルタ H_a(s) を H_d(z) に写像する手続きを書きますが、周波数の歪み（Ω = (2/T) tan(ω/2)）を補償するプリワーピングを書き忘れる答案が多い。FIR の線形位相条件は h[n] が中心対称（h[n] = h[N−1−n]）か中心反対称（h[n] = −h[N−1−n]）であることに対応する点を明記してください。

DFT と FFT

頻出は、DFT の定義式と直交性、循環たたみ込みと線形たたみ込みの違い、ゼロパディングによる線形たたみ込みの計算、スペクトル漏れと窓関数、Cooley-Tukey FFT のバタフライ構造、計算量比較（O(N²) vs O(N log N)）。最大の失点は、長さ N の系列同士の DFT を掛け合わせて IDFT を取ったものが「線形たたみ込み」ではなく「循環たたみ込み（長さ N で巡回）」になる点を見落とすことです。線形たたみ込みを求めたければ、両系列を最低 N1+N2−1 までゼロパディングしてから DFT を取る、という1行を答案に必ず残してください。スペクトル漏れの問題では、観測区間が信号の周期の整数倍でないと隣接ビンに漏れること、その対策として窓関数（ハニング、ブラックマンなど）を時間領域で掛けて打ち切り端の不連続を緩和することを書く。FFT の計算量比較は「N点 DFT は N² 回の乗算、FFT は (N/2) log_2 N 回」と具体的な式を残すのが基本動作で、「速い」とだけ書く答案は0点に近い扱いを受けます。バタフライ構造を描く問題では、入出力のビット反転並べ替え、ツイドル因子 W_N = e^(−i2π/N) の指数規約、in-place 演算の前後でデータがどう更新されるかを順に図示します。基数2 FFT を 8点で1段ずつ追えるようにしておくと、本番で大きい N が出ても同じ構造に帰着できます。

ランダム信号と最適フィルタ

頻出は、自己相関関数の定義（時間平均かアンサンブル平均か）、定常性とエルゴード性、パワースペクトル密度（PSD）、ウィーナー・ヒンチンの定理、整合フィルタ、ウィーナーフィルタ。失点は、定常性の仮定を書かずに「時間平均で PSD を求めた」と書いてしまうことです。エルゴード性が仮定できる場合に限り時間平均はアンサンブル平均と一致する、という1行を明示してから計算に入る。整合フィルタの問題では、SNR を最大化するフィルタが入力信号の時間反転共役 s*(T−t) の定数倍になる、という結論を覚えるだけでなく、シュワルツ不等式から導く流れを 3 行程度で再現できるようにしておくと部分点が伸びます。ウィーナーフィルタは雑音と所望信号の PSD が既知という仮定が肝で、その仮定を答案に書かずに最適解だけ書くと採点者は減点せざるを得ません。

出題大学ごとの色の違い

同じ信号処理でも、研究科の系統と歴史で「答案に何を残してほしいか」が違います。志望先によって演習配分の重みが変わります。

• 東大 情報理工学系 電子情報学：基礎数学の前提が高く、複素関数論と確率論の素養を前提として信号処理の応用を問う。ランダム信号の PSD やウィーナーフィルタなど、確率と信号処理の境界領域が出やすい。
• 京大 情報学研究科 通信情報システム：通信路符号化や情報理論と接続する出題が多く、信号空間における直交変調・整合フィルタといった通信寄りの論点が定番。連続・離散の使い分けを問う問題が標準的に出る。
• 東北大 電気・情報工学（基礎・専門）：基礎科目で複素関数・線形代数が独立に問われた上で、専門で信号処理が出る構成。基礎が崩れていると専門で連鎖的に落とすため、基礎数学の手当てが死活問題になる。
• 九大 システム情報科学府 電気電子工学：回路理論と信号処理を接続させる出題が多く、ラプラス変換による回路解析からそのまま伝達関数の安定性議論に進む流れが頻出。極零配置と回路素子の対応に慣れておく必要がある。
• 東京科学大 情報通信系：旧東工大の伝統で、ディジタル信号処理の比重が大きい。FIR/IIR の設計問題、DFT/FFT の計算量議論、サンプリングと再構成の図示が定番。
• 東京科学大 電気電子系：連続時間系と回路理論の比重が大きい。LTI 系の周波数応答とフィードバック制御の安定性議論が交差して出る傾向。
• 電通大 電気・電子・光デバイス：標準的なディジタル信号処理に加えて、通信路や光通信応用の文脈で標本化と再構成が出ることがある。形式不備への減点は厳しめなので答案作法の徹底が効く。

外部生がつまずく構造的な理由

信号処理で外部生が苦戦するのは、能力差ではなく構造的な要因が大きいです。代表的なのは次の3点で、自分がどこに当たっているかを早く自覚すると、対策の優先順位がはっきりします。

第一に、連続時間と離散時間の対応関係を講義で連続的に学んでいるかどうかの差です。内部生は学部3〜4年で「信号とシステム」「ディジタル信号処理」を半期ずつ取り、ラプラス変換とz変換、フーリエ変換と DFT が同じ概念の連続版・離散版であることを自然に把握しています。外部生は片方しか履修していない、あるいは独学でつまみ食いしている場合が多く、双線形変換やインパルス不変変換で連続系のフィルタを離散系に写す問題で「なぜそうなるのか」が腹落ちしません。教科書を Oppenheim 系で1冊通読し、連続と離散を必ず対で覚える方針に切り替えるのが効きます。

第二に、変換規約の差に対する自衛意識の弱さです。フーリエ変換の係数規約、ラプラス変換の片側・両側、z変換の正巾・負巾（X(z) = Σ x[n] z^(−n) と Σ x[n] z^n の流派の違い）、DFT の正規化（1/N をどちらに置くか）—これらは教科書ごとに違うのに、外部生は最初に開いた1冊の規約を「世界標準」と思い込みやすい。志望研究科の過去問解答例（公開されている場合）でどの規約が使われているかを早めに確認し、その規約を答案冒頭で宣言する習慣をつけてください。

第三に、図示の作法です。信号処理の答案は、極零配置（s平面・z平面）、スペクトル図（折り返しの様子）、ボード線図、ブロック線図など、図で示すべき情報量が他科目より多い。内部生は実験や演習で図を描く訓練を積んでいる一方、外部生は「式さえ合っていれば良い」という前提で答案を書きがちです。s平面なら虚軸と単位円の対応、z平面なら単位円と安定領域の対応を、最初に1度自分の手で正確に描いて頭に入れておくと、本番でスペクトル図やボード線図を要求されたときに手が止まりません。

残り月数別の演習ロードマップ

信号処理対策に使える月数別に、現実的に効くやり方を整理します。共通するのは「過去問1年分を時間を計って解き、現状を可視化する」ことです。これを最初にやらないと、得意な連続系に時間を使いすぎて、離散系のフィルタ設計や DFT で落とす典型パターンに陥ります。

残り6か月の場合

最初の2か月で Oppenheim『Signals and Systems』を通読し、連続時間と離散時間の対応を頭の中に作ります。章末問題はたたみ込み・フーリエ変換・ラプラス変換・z変換の基本演習を中心に、各章 5〜10 問を自力で完答できる状態を目標にしてください。次の2か月で Oppenheim-Schafer『Discrete-Time Signal Processing』に移り、サンプリング・DFT/FFT・FIR/IIR 設計を演習する。同時に、複素関数論の留数定理を逆ラプラス変換と逆z変換に応用する練習を週 2〜3 問のペースで継続します。最後の2か月で過去問を年度別に解き、答案の作法（変換規約の宣言、ROC の明示、スペクトル図の描画）を時間制限付きで身につける段階に入ります。

残り3か月の場合

過去問1年分を時間を計って解き、自分の弱点が「連続系」「離散系」「変換規約」「図示」のどれに偏っているかを判定します。最初の1か月で弱点側の教科書を集中して回し（連続系なら『Signals and Systems』の該当章、離散系なら『Discrete-Time Signal Processing』の該当章）、次の1か月で過去問を直近5年分2周。最後の1か月は答案の作法と時間配分の調整に充てます。複素関数論の基本（留数定理、複素積分）が怪しい場合は、毎日30分の固定枠を確保して章末問題を切らさないことが結果的に効きます。FIR/IIR の設計問題は、解答例を最低3問は手を動かして写経することで「設計仕様→設計手順→実装」の流れを体に入れる段階を必ず通してください。読むだけでは本番で書けません。

残り1か月の場合

新規範囲には手を広げず、既に解いた過去問の答案を「採点者が読める形」に書き直す訓練に振り切ります。各設問について、変換規約・ROC・図（極零配置／スペクトル／ボード線図）・最終結果の単位、の4点を答案に必ず残す。時間が足りない科目は、配点の取りやすい設問（基本変換の計算、サンプリング定理の不等号判定、線形たたみ込み和の計算）を確実に取りにいく戦略に切り替え、FIR/IIR の設計問題で詰まったら「設計仕様」と「窓関数または変換手法の選択理由」だけ書き残して部分点を狙う判断が必要になります。

過去問の使い方の原則

どの月数のロードマップでも共通するのは、過去問を「現状把握→弱点補強→反復」の3層に分けて回すことです。1周目は時間制限なしで完答を目指し、論点の網羅性を確認する。2周目は時間制限を本番より20%厳しくして答案作法に集中する。3周目は本番と同じ時間配分で、複数年度を連続して解いて疲労時の精度を確認する。1周目で詰まった論点は教科書に戻り、3周目で詰まった論点は時間配分と捨て問の判断基準を再設計する。同じ過去問を3層で使い分けることで、解いた年度数の割に得るものが大きくなります。

推奨教科書・参考書

信号処理は教科書選びで「連続と離散をひとつの体系で説明する本」を1冊持つことが決定的に重要です。以下は標準構成で、各書の使いどころを併記します。

• Oppenheim-Willsky『Signals and Systems』 — 連続時間と離散時間を統一的に扱う事実上の標準教科書。最初に通読する1冊として最適。章末問題の質が高く、たたみ込み・フーリエ変換・ラプラス変換・z変換を一気通貫で学べる。
• Oppenheim-Schafer『Discrete-Time Signal Processing』 — ディジタル信号処理の事実上の標準。サンプリング、DFT/FFT、FIR/IIR 設計、ランダム信号処理を網羅。情報通信系志望者は必読。
• 貴家仁志『ディジタル信号処理』 — 日本語で書かれた標準教科書として読みやすく、サンプリング・フィルタ設計・DFT の章が実務的。Oppenheim-Schafer の補助として併読すると差がつく。
• 谷萩隆嗣『信号処理』 — 連続時間と離散時間の対応関係の説明が丁寧で、変換規約の整理にも使える。コロナ社の教科書シリーズで章末問題の解説も充実。
• 佐藤幸男『信号処理入門』（オーム社） — 入門レベルの定型問題を一通り回す用途に向く。学部の信号処理講義の復習として効率的。
• 横断：『大学院入試問題集』各社の信号処理章 — 実戦演習用。志望研究科の出題形式に近い問題を集中的に回す段階で使う。

院試hub の解答パックでカバーされる範囲

院試hub では信号処理を主要試験科目に含む電気・情報通信系研究科について、年度別の解答パックを整備しています。東北大 工学研究科 電気・情報工学（基礎・専門）、電通大 電気・電子・光デバイス、東京科学大 工学院 情報通信系、九大 システム情報科学府 電気電子工学 など、複数研究科を横断的に比較しながら、連続時間系と離散時間系の問題比重の差、答案で要求される変換規約の宣言、ROC やスペクトル図の描画粒度を確認できます。

各解答PDFは年度別に整理されていて、各設問に方針・典型失点・部分点の置き所を併記しています。使い方の推奨は次の順序です。まず公式PDFの問題を自力で時間を計って解く。次に解答パックの「方針」だけを先に読み、自分が採った変換規約と一致しているかを確認する。最後に答案全体を突き合わせ、ROC の明示、エイリアシング条件の不等号、ゼロパディングの記述、フィルタ設計仕様と設計パラメータの接続といった答案作法の不備を直していきます。3周目以降は時間配分の最適化に使えます。1年分を解くごとに、自分の弱点が「連続・離散の対応」「変換規約」「図示」「時間配分」のどれに分類されるかを記録しておくと、残り月数別ロードマップの調整に役立ちます。

公開前に必ず最新の公式募集要項・公式過去問ページで試験科目・出題範囲を確認してください。