フーリエ変換定義の係数・反転公式・畳み込み・計算例

このページでは関数 $f(t)$ のフーリエ変換を $F(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t)e^{-i\omega t}\,dt$ 、逆変換を $f(t) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} F(\omega)e^{i\omega t}\,d\omega$ と定める。 $f$ が絶対可積分なら $F$ は連続で、 $f$ が区分的に滑らかなら逆変換で $f$ に戻る（不連続点では左右の極限の平均）。時間の推移は $e^{-i\omega a}$ の掛け算、微分は $i\omega$ の掛け算、畳み込みは積に変わる。

フーリエ解析とラプラス変換の第2単元（全3単元）。先に読む単元：フーリエ級数

院試数学基礎完成シリーズ微分積分編

基礎ノートと類題を答案の形で解いた問題集（2,480円）。収録章と見本ページを商品ページで確認できる。過去問の本文は収録していない。

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フーリエ変換の定義と係数の流儀

定義

フーリエ変換と逆変換（このページの定義）

$f$ が $\mathbb{R}$ 上で絶対可積分（ $\int_{-\infty}^{\infty}\lvert f(t)\rvert\,dt < \infty$ ）のとき

F(\omega) = \mathcal{F}[f](\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t)e^{-i\omega t}\,dt

をフーリエ変換、

f(t) = \mathcal{F}^{-1}[F](t) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} F(\omega)e^{i\omega t}\,d\omega

を逆変換という。 $\omega$ は角周波数で、 $2\pi$ は逆変換の側にだけ置く。以下の公式はすべてこの定義による。

教科書や院試の問題では、別の置き方も使われる。問題文の定義を先に確かめ、公式の係数を合わせる。

対称な形： $F(\omega) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int f(t)e^{-i\omega t}\,dt$ 、 $f(t) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int F(\omega)e^{i\omega t}\,d\omega$ 。プランシュレルの等式に係数が付かない。\n- 周波数 $\xi$ （単位 Hz）の形： $X(\xi) = \int f(t)e^{-2\pi i\xi t}\,dt$ 、 $f(t) = \int X(\xi)e^{2\pi i\xi t}\,d\xi$ 。 $X(\xi) = F(2\pi\xi)$ の関係にある。\n- 指数の符号を逆にした形： $\int f(t)e^{i\omega t}\,dt$ を変換とする流儀もあり、推移や微分の公式で $i$ の符号が反転する。

定理・法則

リーマン・ルベーグの補題

条件

$f$ は $\mathbb{R}$ 上で絶対可積分。

主張

$F(\omega)$ は $\mathbb{R}$ 上で一様連続、 $\lvert F(\omega)\rvert \le \int\lvert f\rvert\,dt$ で、 $\lvert\omega\rvert \to \infty$ のとき $F(\omega) \to 0$ 。

要点

逆に $F$ が絶対可積分とは限らない。矩形パルスの変換 $\frac{2\sin a\omega}{\omega}$ は絶対可積分でない。

反転公式・畳み込み定理・プランシュレルの等式

定理・法則

フーリエの反転公式

条件

$f$ は絶対可積分で、どの有限区間でも区分的に滑らか。

主張

すべての $t$ で

\lim_{R\to\infty}\frac{1}{2\pi}\int_{-R}^{R} F(\omega)e^{i\omega t}\,d\omega = \frac{f(t+0) + f(t-0)}{2}

が成り立つ。 $f$ が $t$ で連続なら右辺は $f(t)$ 。

要点

$F$ が絶対可積分でないことがあるので、積分は対称な区間 $[-R, R]$ の極限（主値）で読む。フーリエ級数の収束定理で周期 $2L \to \infty$ とした形にあたる。

定理・法則

畳み込み定理

条件

$f, g$ は絶対可積分。畳み込みを $(f * g)(t) = \int_{-\infty}^{\infty} f(\tau)g(t - \tau)\,d\tau$ と定める。

主張

\mathcal{F}[f * g](\omega) = F(\omega)G(\omega), \qquad \mathcal{F}[fg](\omega) = \frac{1}{2\pi}(F * G)(\omega)

要点

2つ目の式は $fg$ と $F * G$ が意味をもつとき（例えば $f, g$ と $F, G$ がすべて絶対可積分）に成り立つ。 $\frac{1}{2\pi}$ は逆変換の側に $2\pi$ を置いた定義から来る。

定理・法則

プランシュレルの等式（パーセバルの等式）

条件

$f$ は絶対可積分かつ2乗可積分。

主張

\int_{-\infty}^{\infty}\lvert f(t)\rvert^2\,dt = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\lvert F(\omega)\rvert^2\,d\omega

要点

2乗可積分な関数全体へ変換を拡張する根拠になる。対称な形の定義では $\frac{1}{2\pi}$ が消え、周波数 $\xi$ の形では $\int\lvert X(\xi)\rvert^2\,d\xi$ になる。

フーリエ変換の公式一覧

性質（ $\mathcal{F}[f] = F$ 、 $a, b$ は実数）

線形性: $\mathcal{F}[\alpha f + \beta g] = \alpha F + \beta G$
時間推移: $\mathcal{F}[f(t - b)](\omega) = e^{-i\omega b}F(\omega)$
周波数推移（変調）: $\mathcal{F}[e^{iat}f(t)](\omega) = F(\omega - a)$
尺度変換: $\mathcal{F}[f(at)](\omega) = \frac{1}{\lvert a\rvert}F\!\left(\frac{\omega}{a}\right) \quad (a \neq 0)$
$a = -1$ とすると $\mathcal{F}[f(-t)] = F(-\omega)$ 。
微分: $\mathcal{F}[f'](\omega) = i\omega F(\omega), \qquad \mathcal{F}[f^{(n)}] = (i\omega)^n F$
$f, f'$ が絶対可積分で、 $\lvert t\rvert \to \infty$ で $f \to 0$ のとき。部分積分の境界項が消える。
掛け算: $\mathcal{F}[t f(t)](\omega) = i\frac{dF}{d\omega}$
$tf(t)$ も絶対可積分のとき。
双対性: $\mathcal{F}[F(t)](\omega) = 2\pi f(-\omega)$
デルタ関数: $\mathcal{F}[\delta(t)] = 1, \qquad \mathcal{F}[1] = 2\pi\delta(\omega), \qquad \mathcal{F}[e^{iat}] = 2\pi\delta(\omega - a)$
超関数の意味の変換で、通常の積分としては収束しない。

よく使う変換対（ $a > 0$ ）

矩形パルス: $f(t) = \begin{cases} 1 & (\lvert t\rvert \le a) \\ 0 & (\lvert t\rvert > a) \end{cases} \ \longmapsto \ F(\omega) = \frac{2\sin a\omega}{\omega}$
両側指数関数: $e^{-a\lvert t\rvert} \longmapsto \frac{2a}{a^2 + \omega^2}$
片側指数関数: $e^{-at}u(t) \longmapsto \frac{1}{a + i\omega}$
$u(t)$ は単位階段関数。
ガウス関数: $e^{-t^2/2} \longmapsto \sqrt{2\pi}\,e^{-\omega^2/2}, \qquad e^{-at^2} \longmapsto \sqrt{\frac{\pi}{a}}\,e^{-\omega^2/(4a)}$
三角パルス: $\max(2a - \lvert t\rvert, 0) \longmapsto \frac{4\sin^2 a\omega}{\omega^2}$
矩形パルスどうしの畳み込みで、変換は矩形パルスの変換の2乗。

矩形パルス・指数関数・ガウス関数の変換

計算例

矩形パルスの変換

$f(t) = 1 \ (\lvert t\rvert \le a)$ 、 $f(t) = 0 \ (\lvert t\rvert > a)$ のフーリエ変換を求めよ。

解答

$\omega \neq 0$ のとき

F(\omega) = \int_{-a}^{a} e^{-i\omega t}\,dt = \frac{e^{-i\omega a} - e^{i\omega a}}{-i\omega} = \frac{2\sin a\omega}{\omega}

$\omega = 0$ では $F(0) = \int_{-a}^{a}dt = 2a$ で、これは $\omega \to 0$ の極限に等しい。

検算

$F(0) = \int f\,dt$ （面積）になる。 $F$ の最初の零点は $\omega = \frac{\pi}{a}$ で、パルスの幅 $2a$ を広げると $F$ の主な山の幅は狭くなる。尺度変換の公式と同じ向きである。

計算例

両側指数関数の変換と反転公式の確認

$f(t) = e^{-a\lvert t\rvert}$ （ $a > 0$ ）のフーリエ変換を求め、反転公式で $f(0) = 1$ に戻ることを確かめよ。

解答

$t < 0$ と $t > 0$ に分けて

F(\omega) = \int_{-\infty}^{0} e^{(a - i\omega)t}\,dt + \int_0^{\infty} e^{-(a + i\omega)t}\,dt = \frac{1}{a - i\omega} + \frac{1}{a + i\omega} = \frac{2a}{a^2 + \omega^2}

反転公式で $t = 0$ とすると $\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{2a}{a^2 + \omega^2}\,d\omega = \frac{1}{2\pi}\cdot 2a\cdot\frac{\pi}{a} = 1 = f(0)$ 。

検算

$f$ は実数値の偶関数なので $F$ も実数値の偶関数になる。プランシュレルの等式では左辺 $\int e^{-2a\lvert t\rvert}\,dt = \frac{1}{a}$ 、右辺 $\frac{1}{2\pi}\int\frac{4a^2}{(a^2 + \omega^2)^2}\,d\omega = \frac{1}{2\pi}\cdot 4a^2\cdot\frac{\pi}{2a^3} = \frac{1}{a}$ で一致する。逆変換の $t \neq 0$ での計算は留数定理で行える。

計算例

ガウス関数の変換

$f(t) = e^{-t^2/2}$ のフーリエ変換を求めよ。

解答

$f$ は $f'(t) = -tf(t)$ を満たす。両辺を変換すると、微分の公式と掛け算の公式から

i\omega F(\omega) = -i\frac{dF}{d\omega} \quad\Longrightarrow\quad \frac{dF}{d\omega} = -\omega F

これを解いて $F(\omega) = F(0)e^{-\omega^2/2}$ 。 $F(0) = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-t^2/2}\,dt = \sqrt{2\pi}$ なので $F(\omega) = \sqrt{2\pi}\,e^{-\omega^2/2}$ 。

検算

指数の中を平方完成して $-\frac{t^2}{2} - i\omega t = -\frac{(t + i\omega)^2}{2} - \frac{\omega^2}{2}$ とし、積分路を実軸へ戻しても同じ結果になる（コーシーの積分定理を使う）。反転公式で $t = 0$ とすると $\frac{1}{2\pi}\int\sqrt{2\pi}\,e^{-\omega^2/2}\,d\omega = \frac{\sqrt{2\pi}\sqrt{2\pi}}{2\pi} = 1 = f(0)$ 。

計算例

プランシュレルの等式で積分を求める

$\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\sin^2\omega}{\omega^2}\,d\omega$ を求めよ。

解答

$a = 1$ の矩形パルス $f$ について $F(\omega) = \frac{2\sin\omega}{\omega}$ 。プランシュレルの等式から

\int_{-1}^{1}1\,dt = 2 = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{4\sin^2\omega}{\omega^2}\,d\omega

よって $\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\sin^2\omega}{\omega^2}\,d\omega = \pi$ 。

検算

部分積分で $\int\frac{\sin^2\omega}{\omega^2}\,d\omega = \int\frac{\sin 2\omega}{\omega}\,d\omega = \pi$ となり一致する（ $\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\sin u}{u}\,du = \pi$ を使う）。

答案でよくある誤り

1
問題文と違う定義の公式を使う。 $2\pi$ を逆変換に置く定義、両側に $\frac{1}{\sqrt{2\pi}}$ を置く定義、周波数 $\xi$ で書く定義で、反転公式・畳み込み・プランシュレルの係数が変わる。最初に定義を書き、公式をその定義で導き直す。
2
時間推移の符号を逆にする。 $f(t - b)$ の変換は $e^{-i\omega b}F(\omega)$ で、 $b > 0$ （右へ遅らせる）なら位相が遅れる向きになる。
3
尺度変換で $\frac{1}{\lvert a\rvert}$ を落とす、または $F(a\omega)$ と書く。 $f(at)$ の変換は $\frac{1}{\lvert a\rvert}F(\omega/a)$ で、 $t = 0$ での面積 $F(0)$ が $\frac{1}{\lvert a\rvert}$ 倍になることで確かめられる。
4
不連続点で反転公式の値を $f(t)$ とする。矩形パルスの端 $t = \pm a$ では、反転公式は $\frac{1}{2}$ を返す。
5
$1$ や $\sin t$ のフーリエ変換を通常の積分で計算しようとする。絶対可積分でないので積分は収束しない。デルタ関数を使った超関数の意味の変換として扱う。
6
$\omega = 0$ で $\frac{2\sin a\omega}{\omega}$ の値を書かない。 $\omega = 0$ は別に計算するか極限をとり、 $F(0) = 2a$ と書く。