ラプラス変換公式一覧・微分方程式の解き方・最終値定理

$t \ge 0$ で定義された関数 $f(t)$ のラプラス変換は $F(s) = \int_0^{\infty} f(t)e^{-st}\,dt$ で、指数位数の関数なら $\operatorname{Re}s$ が十分大きい範囲で収束する。微分が $sF(s) - f(0)$ に変わるので、初期値つきの線形微分方程式は $s$ の代数方程式になる。解いた $F(s)$ を部分分数に分け、変換表を逆に読むと $f(t)$ が得られる。

フーリエ解析とラプラス変換の第3単元（全3単元）。先に読む単元：フーリエ変換

院試数学基礎完成シリーズ微分積分編

基礎ノートと類題を答案の形で解いた問題集（2,480円）。収録章と見本ページを商品ページで確認できる。過去問の本文は収録していない。

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ラプラス変換の定義と存在条件

定義

ラプラス変換

$t \ge 0$ で定義された関数 $f(t)$ と複素数 $s$ に対して

F(s) = \mathcal{L}[f](s) = \int_0^{\infty} f(t)e^{-st}\,dt

をラプラス変換という。積分が収束する $s$ の範囲は半平面 $\operatorname{Re}s > \sigma_0$ の形になり、 $\sigma_0$ を収束座標という。 $s = \sigma + i\omega$ とおくと、 $F(\sigma + i\omega)$ は $f(t)e^{-\sigma t}u(t)$ のフーリエ変換（ $e^{-i\omega t}$ の定義）に等しい。

定理・法則

ラプラス変換の存在

条件

$f$ は $[0, \infty)$ のどの有限区間でも区分的に連続で、定数 $M, \alpha, T$ があって $t \ge T$ で $\lvert f(t)\rvert \le Me^{\alpha t}$ （指数位数 $\alpha$ ）。

主張

$F(s)$ は $\operatorname{Re}s > \alpha$ で絶対収束し、その範囲で正則である。さらに $\operatorname{Re}s \to \infty$ のとき $F(s) \to 0$ 。

要点

これは十分条件である。 $e^{t^2}$ はどの $\alpha$ でも指数位数でなく、ラプラス変換をもたない。一方 $t^{-1/2}$ は $t = 0$ で区分的に連続でないが、 $\mathcal{L}[t^{-1/2}] = \sqrt{\pi/s}$ が存在する。

定理・法則

逆変換の一意性と反転公式

条件

$f, g$ は上の存在条件を満たし、 $[0, \infty)$ で連続とする。

主張

$\mathcal{L}[f] = \mathcal{L}[g]$ なら $f = g$ （ラーチの定理）。逆変換はブロムウィッチ積分

f(t) = \frac{1}{2\pi i}\lim_{R\to\infty}\int_{\gamma - iR}^{\gamma + iR} F(s)e^{st}\,ds \quad (t > 0)

で与えられる。 $\gamma$ は $F$ のすべての特異点より右にとる。

要点

$F$ が有理関数なら、積分路を左へ閉じて $F(s)e^{st}$ の留数の和として計算できる。部分分数分解と変換表で求めた結果と一致する。

ラプラス変換の公式一覧

基本の変換表（ $n = 0, 1, 2, \dots$ ）

定数・べき: $\mathcal{L}[1] = \frac{1}{s}, \qquad \mathcal{L}[t^n] = \frac{n!}{s^{n+1}} \quad (\operatorname{Re}s > 0)$
指数関数: $\mathcal{L}[e^{at}] = \frac{1}{s - a}, \qquad \mathcal{L}[t^n e^{at}] = \frac{n!}{(s - a)^{n+1}} \quad (\operatorname{Re}s > \operatorname{Re}a)$
三角関数: $\mathcal{L}[\sin\omega t] = \frac{\omega}{s^2 + \omega^2}, \qquad \mathcal{L}[\cos\omega t] = \frac{s}{s^2 + \omega^2}$
階段・デルタ: $\mathcal{L}[u(t - a)] = \frac{e^{-as}}{s}, \qquad \mathcal{L}[\delta(t - a)] = e^{-as} \quad (a \ge 0)$

性質（ $\mathcal{L}[f] = F$ ）

第1推移定理: $\mathcal{L}[e^{at}f(t)] = F(s - a)$
第2推移定理: $\mathcal{L}[f(t - a)u(t - a)] = e^{-as}F(s) \quad (a \ge 0)$
$f(t)u(t - a)$ の変換は $e^{-as}\mathcal{L}[f(t + a)]$ で、別の式になる。
微分: $\mathcal{L}[f'] = sF(s) - f(0), \qquad \mathcal{L}[f''] = s^2F(s) - sf(0) - f'(0)$
$f$ が連続かつ指数位数で、 $f'$ が区分的に連続のとき。 $t = 0$ で跳ぶ関数では $f(0)$ を $f(0+)$ と読む。
積分: $\mathcal{L}\!\left[\int_0^t f(\tau)\,d\tau\right] = \frac{F(s)}{s}$
掛け算: $\mathcal{L}[t f(t)] = -\frac{dF}{ds}$
畳み込み: $\mathcal{L}\!\left[\int_0^t f(\tau)g(t - \tau)\,d\tau\right] = F(s)G(s)$
ラプラス変換の畳み込みは積分区間が $[0, t]$ になる。
初期値定理: $f(0+) = \lim_{s\to\infty} sF(s)$
$f'$ もラプラス変換をもつとき。
最終値定理: $\lim_{t\to\infty} f(t) = \lim_{s\to 0} sF(s)$
$sF(s)$ の極がすべて $\operatorname{Re}s < 0$ にあるときに限る。

ラプラス変換で微分方程式を解く手順

方程式の両辺を変換し、 $\mathcal{L}[y'] = sY - y(0)$ などで初期値を入れる。\n2. $Y(s)$ について解く。\n3. $Y(s)$ を部分分数に分け、複素数の極は分母を $(s + p)^2 + q^2$ に平方完成する。\n4. 変換表と推移定理で逆変換する。\n5. 求めた $y(t)$ が初期値と方程式を満たすかを確かめる。

定数係数の線形方程式は定数係数線形微分方程式の特性方程式でも解ける。ラプラス変換では初期値が最初から入り、右辺が階段関数やデルタ関数でも同じ手順で扱える。

計算例

2階の方程式の初期値問題

$y'' + 3y' + 2y = 1$ 、 $y(0) = 0$ 、 $y'(0) = 0$ を解け。

解答

両辺を変換すると $(s^2 + 3s + 2)Y = \frac{1}{s}$ なので

Y(s) = \frac{1}{s(s + 1)(s + 2)} = \frac{1}{2s} - \frac{1}{s + 1} + \frac{1}{2(s + 2)}

よって $y(t) = \frac{1}{2} - e^{-t} + \frac{1}{2}e^{-2t}$ （ $t \ge 0$ ）。

検算

$y(0) = \frac{1}{2} - 1 + \frac{1}{2} = 0$ 、 $y'(0) = 1 - 1 = 0$ 。 $t \to \infty$ で $y \to \frac{1}{2}$ で、 $sY(s)$ の極 $-1, -2$ は左半平面にあるから最終値定理 $\lim_{s\to 0}sY(s) = \frac{1}{2}$ とも一致する。定常状態では $y' = y'' = 0$ で $2y = 1$ になることからも分かる。

計算例

複素数の極をもつ逆変換

$F(s) = \frac{s + 3}{s^2 + 2s + 5}$ の逆ラプラス変換を求めよ。

解答

分母を平方完成すると $s^2 + 2s + 5 = (s + 1)^2 + 2^2$ 。分子を $(s + 1) + 2$ と分けて

F(s) = \frac{s + 1}{(s + 1)^2 + 2^2} + \frac{2}{(s + 1)^2 + 2^2}

第1推移定理で $s \to s + 1$ が $e^{-t}$ の掛け算にあたるので、 $f(t) = e^{-t}(\cos 2t + \sin 2t)$ 。

検算

初期値定理で $\lim_{s\to\infty}sF(s) = 1$ 、 $f(0) = 1$ と一致する。極 $s = -1 \pm 2i$ での留数 $\operatorname{Res}F(s)e^{st}$ の和をとっても同じ式になる。

伝達関数とRC回路のステップ応答

定義

伝達関数とインパルス応答

入力 $x(t)$ と出力 $y(t)$ が定数係数の線形微分方程式で結ばれ、初期値がすべて0のとき、 $G(s) = \frac{Y(s)}{X(s)}$ を伝達関数という。 $G(s)$ の逆変換 $g(t)$ はデルタ関数を入れたときの出力（インパルス応答）で、一般の入力への出力は畳み込み $y(t) = \int_0^t g(\tau)x(t - \tau)\,d\tau$ になる。

計算例

RC回路のステップ応答

抵抗 $R$ とコンデンサ $C$ を直列にし、 $t = 0$ で電圧 $E$ をかける。コンデンサの電圧 $v(t)$ は $RC\,v' + v = Eu(t)$ 、 $v(0) = 0$ を満たす。伝達関数と $v(t)$ を求めよ。

解答

初期値0で変換すると $(RCs + 1)V(s) = X(s)$ なので、伝達関数は $G(s) = \frac{1}{RCs + 1}$ 。入力は $X(s) = \frac{E}{s}$ で

V(s) = \frac{E}{s(RCs + 1)} = E\left(\frac{1}{s} - \frac{1}{s + 1/(RC)}\right)

よって $v(t) = E\left(1 - e^{-t/(RC)}\right)$ （ $t \ge 0$ ）。

検算

$RC$ の単位は $\Omega\cdot\mathrm{F} = \mathrm{s}$ なので $t/(RC)$ は無次元である。 $v(0) = 0$ 、 $t \to \infty$ で $v \to E$ で、最終値定理 $\lim_{s\to 0}sV(s) = E$ と一致する。 $t = RC$ で $v = E(1 - e^{-1}) \approx 0.632E$ 。

答案でよくある誤り

1
$\mathcal{L}[y']$ を $sY$ とだけ書き、初期値を落とす。 $\mathcal{L}[y'] = sY - y(0)$ 、 $\mathcal{L}[y''] = s^2Y - sy(0) - y'(0)$ で、初期値0の問題以外では項が残る。
2
極が右半平面や虚軸にあるのに最終値定理を使う。 $\mathcal{L}[\sin t] = \frac{1}{s^2 + 1}$ では $\lim_{s\to 0}sF(s) = 0$ だが、 $\sin t$ は収束しない。 $sF(s)$ の極がすべて $\operatorname{Re}s < 0$ にあることを先に確かめる。
3
第2推移定理を $f(t)u(t - a)$ に当てはめる。 $e^{-as}F(s)$ は $f(t - a)u(t - a)$ の変換である。 $f(t)u(t - a)$ は $f(t) = f((t - a) + a)$ と書き直して $e^{-as}\mathcal{L}[f(t + a)]$ にする。
4
複素数の極を部分分数で無理に分ける。分母を $(s + p)^2 + q^2$ に平方完成し、分子を $(s + p)$ と定数に分けて $e^{-pt}\cos qt$ 、 $e^{-pt}\sin qt$ の形で逆変換する。
5
収束域を書かずに $\mathcal{L}[e^{at}] = \frac{1}{s - a}$ を使う。この式は $\operatorname{Re}s > a$ で成り立つ。両側の関数や $t < 0$ の値はラプラス変換に入らない。