北大 情報科学院 情報科学専攻 メディアネットワークコース 専門科目 2026年度 院試 解答例・解説

対称区間で消える項

体積積分では全てを逐次積分してもよいが，$[-1,1]$ の対称区間では奇関数の積分が0になる。$x$ や $z$ の奇関数項を先に消すと，計算量を大きく減らせる。

対称行列の平方根

実対称行列は直交固有ベクトルで対角化できる。$A=B^2$ では，$B$ の固有値を二乗したものが $A$ の固有値になる。正の平方根だけでなく，符号の選択があるため，本問では4通りの $B$ が出る。

追加条件は固有値で見る

$A=B^2$ が分かっているので，追加条件を成分で代入する必要はない。$A+3B=-2I$ と直し，固有方向ごとに一次方程式を解くと，$B$ の固有値が $-1,-2$ に決まる。

用語問題の書き方

50文字や100文字の説明問題では，仕組みと効果を一文で結ぶとよい。キャッシュなら「高速小容量記憶に再利用されるデータを置く」ことと「主記憶アクセスを減らす」ことを含めれば十分である。

非プリエンプティブの注意

SJFでも，実行中のプロセスを途中で止めない。したがって $P3$ が時刻4に到着しても，時刻0から実行中の $P1$ は時刻5まで継続する。この点をプリエンプティブな最短残り時間優先と混同しない。

隠しビット

仮数部4ビットは，先頭の $1$ を保存しない表現である。したがって最大仮数は $1.1111_2$ であって $0.1111_2$ ではない。指数部がバイアスなしの2の補数である点も，IEEE形式と取り違えやすい。

端点は積分値に影響しない

連続時間信号のフーリエ変換では，有限個の端点での値は積分値に影響しない。矩形信号では $\sin\omega/\omega$ 型が出るので，$\omega=0$ だけ極限で補う。

時間シフトの符号

定義が $e^{-j\omega t}$ なので，右への時間シフト $x(t-\tau)$ は $e^{-j\omega\tau}$ を掛ける。符号を逆にしやすいので，置換 $s=t-\tau$ を一度書くと確実である。

ブロック線図

遅延器の位置を見て，現在の出力が一時刻前の加算器出力であることを式にする。そこから $Y=z^{-1}X+2z^{-1}Y$ と書けば，伝達関数も出力列も機械的に求められる。

周期的な添字

自己相関の定義では，添字が負になったときに循環して参照する。したがって，$f(x-\tau_x,y)$ の全画素平均は元の画像の平均と同じである。この性質が $C_f=R_f-\mu_f^2$ を導く。

予測誤差分散

$f(x-1,y)$ と $f(x,y)$ は同じ分散をもつ。差の分散は，それぞれの分散の和から2倍の共分散を引く形になる。隣接画素の相関 $C_f(1)$ が大きいほど，差分予測の誤差分散は小さくなる。

アダマール行列の帰納法

ブロック行列の積では，対角ブロックに $H^TH+H^TH$，非対角ブロックに $H^TH-H^TH$ が現れる。正規化係数 $1/\sqrt2$ があるため，対角はちょうど $I$ になる。

階層の対応

自然言語の階層は，音の体系，語の構成，文の構造，意味，使用文脈の順に大きくなる。形態素解析は語の単位を扱うため形態論，構文解析は文の構造を扱うため統語論，意味解析は語や文の意味を扱うため意味論に対応する。

ELIZAの本質

ELIZA型の重要点は，意味理解をしているように見えても，中心は表層的なパターン照合であることにある。入力が規則の想定から外れると急に弱くなるため，利点と欠点はこの仕組みから説明できる。

音声と文字の違い

音声は時間的に消える代わりに，抑揚や応答タイミングを含む。文字は残る代わりに，非言語情報が落ちる。誤解の改善策は，単に丁寧に書くことではなく，文脈，対象，期待する行動を明示することが本質である。

デルタ関数の係数

$\cos$ のフーリエ変換では，正負の周波数に係数 $1/2$ のデルタ関数が現れる。本問では積の公式で係数2の余弦が二つ出るため，最終的なデルタ関数の高さは1になる。

同期検波の正規化

同期検波では，搬送波と同じ周波数の局発信号を掛けて低域通過する。局発の振幅を1とするか2とするかで全体の係数だけが変わる。問題で利得が明示されていない場合は，採用した規格化を答案中で明記しておくとよい。

ASKの電力

搬送波の平均二乗値は十分長い区間で $1/2$ になる。したがって振幅が $A$ の区間の電力は $A^2/2$ である。平均電力の最小化は二次式の平方完成でも求められる。