北大 情報科学院 情報科学専攻 メディアネットワークコース 専門科目 2026年度 院試 過去問 解答例・解説（全6問）

1-1 ベクトル場の面積分と発散

面積分では $z=1$ とおき，$\mathbf{i}_z$ 成分だけを取り出す。したがって $$\mathbf{u}\cdot \mathbf{i}_z=z(z+1)$$ より，積分範囲内では常に $2$ である。よって $$S=\int_{-1}^{1}\int_{-1}^{1}2\,dxdy=8$$ である。

発散は各成分を対応する変数で微分して足す。 $$\begin{aligned} f(x,y,z) &=\frac{\partial}{\partial x}\{4x^2(x^2-1)\} +\frac{\partial}{\partial y}\{2y(y^2-1)\} +\frac{\partial}{\partial z}\{z(z+1)\}\\ &=16x^3-8x+6y^2-2+2z+1\\ &=16x^3-8x+6y^2+2z-1. \end{aligned}$$

体積積分では，奇関数である $16x^3,-8x,2z$ の項は対称区間上で消える。したがって $$\begin{aligned} V&=\int_{-1}^{1}\int_{-1}^{1}\int_{-1}^{1} (16x^3-8x+6y^2+2z-1)\,dxdydz\\ &=\int_{-1}^{1}\int_{-1}^{1}\int_{-1}^{1}(6y^2-1)\,dxdydz\\ &=2\cdot 2\int_{-1}^{1}(6y^2-1)\,dy\\ &=4(4-2)=8. \end{aligned}$$

1-2 固有値分解と対称行列の平方根

行列 $A$ の特性多項式は $$\lambda^2-5\lambda+4=(\lambda-1)(\lambda-4)$$ である。したがって固有値は $$1,\quad 4$$ である。対応する固有ベクトルとして $$\lambda=1:\ (-3,1)^T,\qquad \lambda=4:\ (1,3)^T$$ を取れる。よって $$P=\begin{pmatrix}-3&1\\1&3\end{pmatrix},\qquad D=\begin{pmatrix}1&0\\0&4\end{pmatrix}$$ とすれば $$A=PDP^{-1},\qquad P^{-1}=\frac1{10}\begin{pmatrix}-3&1\\1&3\end{pmatrix}$$ である。

$A=B^2$ を満たす実対称行列 $B$ は，同じ固有方向をもち，固有値をそれぞれ $\pm1,\pm2$ から選べばよい。$s,t\in\{1,-1\}$ として $$B=\frac1{10} \begin{pmatrix} 9s+2t&-3s+6t\\ -3s+6t&s+18t \end{pmatrix}$$ である。したがって $(a,b,c)$ は $$\left(\frac{11}{10},\frac{3}{10},\frac{19}{10}\right),\quad \left(\frac{7}{10},-\frac{9}{10},-\frac{17}{10}\right),\quad \left(-\frac{7}{10},\frac{9}{10},\frac{17}{10}\right),\quad \left(-\frac{11}{10},-\frac{3}{10},-\frac{19}{10}\right)$$ である。

さらに $A=B^2$ を用いると $$2A+3B-B^2=-2I$$ は $$A+3B=-2I$$ と同値である。固有値ごとに見ると，$A$ の固有値 $1,4$ に対し，$B$ の固有値は $$\frac{-2-1}{3}=-1,\qquad \frac{-2-4}{3}=-2$$ でなければならない。これは上の候補のうち $s=t=-1$ に対応する。したがって条件を満たす組は存在し， $$(a,b,c)=\left(-\frac{11}{10},-\frac{3}{10},-\frac{19}{10}\right)$$ であり，このときの $B$ の固有値は $$-1,\quad -2$$ である。