北大 情報科学院 情報科学専攻 メディアネットワークコース 専門科目 2025年度 院試 過去問 解答例・解説（全6問）

1-1 座標変換

同次座標を用いると $$T(t)\begin{pmatrix}x\\y\\1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}x+t\\y\\1\end{pmatrix},\qquad S(s)\begin{pmatrix}x\\y\\1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}sx\\sy\\1\end{pmatrix}$$ である。

(1) まず平行移動し，その後に拡大するので， $$S(2)T(1)\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix} =S(2)\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}2\\2\\1\end{pmatrix}.$$ したがって $x'=2,\ y'=2$ である。

(2) $p=(1,\sqrt3,1)^T$ とする。条件 $p=T(t)R(\theta)p$ から第2成分は $$\sin\theta+\sqrt3\cos\theta=\sqrt3$$ を満たす。左辺は $2\sin(\theta+\pi/3)$ なので， $$\theta=0,\quad \theta=\frac{\pi}{3}$$ が $0\le \theta<2\pi$ における解である。第1成分 $$1=\cos\theta-\sqrt3\sin\theta+t$$ より，それぞれ $t=0,\ 2$ を得る。

(3) 回転してから $x$ 方向へ $t$ だけ平行移動し，元の座標系へ戻す操作は $$R(-\theta)T(t)R(\theta)p =p+tR(-\theta)\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1+t\cos\theta\\1-t\sin\theta\\1\end{pmatrix}$$ である。一方，$S(2)(1,1,1)^T=(2,2,1)^T$ であるから $$t\cos\theta=1,\qquad -t\sin\theta=1.$$ よって $t^2=2$ であり， $$(t,\theta)=\left(\sqrt2,\frac{7\pi}{4}\right),\quad \left(-\sqrt2,\frac{3\pi}{4}\right)$$ である。

1-2 固有値分解による行列の復元

固有ベクトルの定数倍は行列の復元に影響しないので $$P=\begin{pmatrix}1&-\sqrt3\\ \sqrt3&1\end{pmatrix},\qquad D=\begin{pmatrix}1&0\\0&2\end{pmatrix}$$ とおく。すると $A=PDP^{-1}$ であり， $$P^{-1}=\frac14\begin{pmatrix}1&\sqrt3\\-\sqrt3&1\end{pmatrix}.$$ したがって $$A =\frac14 \begin{pmatrix}1&-2\sqrt3\\ \sqrt3&2\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1&\sqrt3\\-\sqrt3&1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7/4&-\sqrt3/4\\ -\sqrt3/4&5/4 \end{pmatrix}.$$

1-3 外積の恒等式

$$x\times y= \begin{pmatrix} x_2y_3-x_3y_2\\ x_3y_1-x_1y_3\\ x_1y_2-x_2y_1 \end{pmatrix}$$ より， $$\begin{aligned} |x\times y|^2 &=(x_2y_3-x_3y_2)^2+(x_3y_1-x_1y_3)^2+(x_1y_2-x_2y_1)^2\\ &=(x_1^2+x_2^2+x_3^2)(y_1^2+y_2^2+y_3^2) -(x_1y_1+x_2y_2+x_3y_3)^2\\ &=(x\cdot x)(y\cdot y)-(x\cdot y)^2. \end{aligned}$$ 両辺は非負であるから平方根を取れば $$|x\times y|=\sqrt{(x\cdot x)(y\cdot y)-(x\cdot y)^2}$$ が従う。