# ラプラス変換｜公式一覧・微分方程式の解き方・最終値定理

> ラプラス変換の定義と存在条件、変換表、推移・微分・畳み込みの公式、逆変換の求め方、初期値・最終値定理の条件を数式で解説。微分方程式とRC回路のステップ応答を解く計算例と、典型的な誤りも載せています。

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- 科目: [フーリエ解析とラプラス変換](https://inshihub.com/basics/fourier-laplace)（大学基礎課程の数学・物理・化学・生物・情報）
- 最終更新: 2026-11-16
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$t \ge 0$ で定義された関数 $f(t)$ のラプラス変換は $F(s) = \int_0^{\infty} f(t)e^{-st}\,dt$ で、指数位数の関数なら $\operatorname{Re}s$ が十分大きい範囲で収束する。微分が $sF(s) - f(0)$ に変わるので、初期値つきの線形微分方程式は $s$ の代数方程式になる。解いた $F(s)$ を部分分数に分け、変換表を逆に読むと $f(t)$ が得られる。

## ラプラス変換の定義と存在条件

### 定義：ラプラス変換

$t \ge 0$ で定義された関数 $f(t)$ と複素数 $s$ に対して

$$F(s) = \mathcal{L}[f](s) = \int_0^{\infty} f(t)e^{-st}\,dt$$

をラプラス変換という。積分が収束する $s$ の範囲は半平面 $\operatorname{Re}s > \sigma_0$ の形になり、$\sigma_0$ を収束座標という。$s = \sigma + i\omega$ とおくと、$F(\sigma + i\omega)$ は $f(t)e^{-\sigma t}u(t)$ の[フーリエ変換](https://inshihub.com/basics/fourier-laplace/fourier-transform)（$e^{-i\omega t}$ の定義）に等しい。

### 定理・法則：ラプラス変換の存在

条件：

$f$ は $[0, \infty)$ のどの有限区間でも区分的に連続で、定数 $M, \alpha, T$ があって $t \ge T$ で $\lvert f(t)\rvert \le Me^{\alpha t}$（指数位数 $\alpha$）。

主張：

$F(s)$ は $\operatorname{Re}s > \alpha$ で絶対収束し、その範囲で正則である。さらに $\operatorname{Re}s \to \infty$ のとき $F(s) \to 0$。

要点：

これは十分条件である。$e^{t^2}$ はどの $\alpha$ でも指数位数でなく、ラプラス変換をもたない。一方 $t^{-1/2}$ は $t = 0$ で区分的に連続でないが、$\mathcal{L}[t^{-1/2}] = \sqrt{\pi/s}$ が存在する。

### 定理・法則：逆変換の一意性と反転公式

条件：

$f, g$ は上の存在条件を満たし、$[0, \infty)$ で連続とする。

主張：

$\mathcal{L}[f] = \mathcal{L}[g]$ なら $f = g$（ラーチの定理）。逆変換はブロムウィッチ積分

$$f(t) = \frac{1}{2\pi i}\lim_{R\to\infty}\int_{\gamma - iR}^{\gamma + iR} F(s)e^{st}\,ds \quad (t > 0)$$

で与えられる。$\gamma$ は $F$ のすべての特異点より右にとる。

要点：

$F$ が有理関数なら、積分路を左へ閉じて $F(s)e^{st}$ の留数の和として計算できる。部分分数分解と変換表で求めた結果と一致する。

## ラプラス変換の公式一覧

### 基本の変換表（$n = 0, 1, 2, \dots$）

- 定数・べき

  $$\mathcal{L}[1] = \frac{1}{s}, \qquad \mathcal{L}[t^n] = \frac{n!}{s^{n+1}} \quad (\operatorname{Re}s > 0)$$

- 指数関数

  $$\mathcal{L}[e^{at}] = \frac{1}{s - a}, \qquad \mathcal{L}[t^n e^{at}] = \frac{n!}{(s - a)^{n+1}} \quad (\operatorname{Re}s > \operatorname{Re}a)$$

- 三角関数

  $$\mathcal{L}[\sin\omega t] = \frac{\omega}{s^2 + \omega^2}, \qquad \mathcal{L}[\cos\omega t] = \frac{s}{s^2 + \omega^2}$$

- 階段・デルタ

  $$\mathcal{L}[u(t - a)] = \frac{e^{-as}}{s}, \qquad \mathcal{L}[\delta(t - a)] = e^{-as} \quad (a \ge 0)$$

### 性質（$\mathcal{L}[f] = F$）

- 第1推移定理

  $$\mathcal{L}[e^{at}f(t)] = F(s - a)$$

- 第2推移定理

  $$\mathcal{L}[f(t - a)u(t - a)] = e^{-as}F(s) \quad (a \ge 0)$$

  $f(t)u(t - a)$ の変換は $e^{-as}\mathcal{L}[f(t + a)]$ で、別の式になる。

- 微分

  $$\mathcal{L}[f'] = sF(s) - f(0), \qquad \mathcal{L}[f''] = s^2F(s) - sf(0) - f'(0)$$

  $f$ が連続かつ指数位数で、$f'$ が区分的に連続のとき。$t = 0$ で跳ぶ関数では $f(0)$ を $f(0+)$ と読む。

- 積分

  $$\mathcal{L}\!\left[\int_0^t f(\tau)\,d\tau\right] = \frac{F(s)}{s}$$

- 掛け算

  $$\mathcal{L}[t f(t)] = -\frac{dF}{ds}$$

- 畳み込み

  $$\mathcal{L}\!\left[\int_0^t f(\tau)g(t - \tau)\,d\tau\right] = F(s)G(s)$$

  ラプラス変換の畳み込みは積分区間が $[0, t]$ になる。

- 初期値定理

  $$f(0+) = \lim_{s\to\infty} sF(s)$$

  $f'$ もラプラス変換をもつとき。

- 最終値定理

  $$\lim_{t\to\infty} f(t) = \lim_{s\to 0} sF(s)$$

  $sF(s)$ の極がすべて $\operatorname{Re}s < 0$ にあるときに限る。

## ラプラス変換で微分方程式を解く手順

1. 方程式の両辺を変換し、$\mathcal{L}[y'] = sY - y(0)$ などで初期値を入れる。\n2. $Y(s)$ について解く。\n3. $Y(s)$ を部分分数に分け、複素数の極は分母を $(s + p)^2 + q^2$ に平方完成する。\n4. 変換表と推移定理で逆変換する。\n5. 求めた $y(t)$ が初期値と方程式を満たすかを確かめる。

定数係数の線形方程式は[定数係数線形微分方程式](https://inshihub.com/basics/differential-equations/linear-odes-constant-coefficients)の特性方程式でも解ける。ラプラス変換では初期値が最初から入り、右辺が階段関数やデルタ関数でも同じ手順で扱える。

### 計算例：2階の方程式の初期値問題

$y'' + 3y' + 2y = 1$、$y(0) = 0$、$y'(0) = 0$ を解け。

解答：

両辺を変換すると $(s^2 + 3s + 2)Y = \frac{1}{s}$ なので

$$Y(s) = \frac{1}{s(s + 1)(s + 2)} = \frac{1}{2s} - \frac{1}{s + 1} + \frac{1}{2(s + 2)}$$

よって $y(t) = \frac{1}{2} - e^{-t} + \frac{1}{2}e^{-2t}$（$t \ge 0$）。

検算：

$y(0) = \frac{1}{2} - 1 + \frac{1}{2} = 0$、$y'(0) = 1 - 1 = 0$。$t \to \infty$ で $y \to \frac{1}{2}$ で、$sY(s)$ の極 $-1, -2$ は左半平面にあるから最終値定理 $\lim_{s\to 0}sY(s) = \frac{1}{2}$ とも一致する。定常状態では $y' = y'' = 0$ で $2y = 1$ になることからも分かる。

### 計算例：複素数の極をもつ逆変換

$F(s) = \frac{s + 3}{s^2 + 2s + 5}$ の逆ラプラス変換を求めよ。

解答：

分母を平方完成すると $s^2 + 2s + 5 = (s + 1)^2 + 2^2$。分子を $(s + 1) + 2$ と分けて

$$F(s) = \frac{s + 1}{(s + 1)^2 + 2^2} + \frac{2}{(s + 1)^2 + 2^2}$$

第1推移定理で $s \to s + 1$ が $e^{-t}$ の掛け算にあたるので、$f(t) = e^{-t}(\cos 2t + \sin 2t)$。

検算：

初期値定理で $\lim_{s\to\infty}sF(s) = 1$、$f(0) = 1$ と一致する。極 $s = -1 \pm 2i$ での留数 $\operatorname{Res}F(s)e^{st}$ の和をとっても同じ式になる。

## 伝達関数とRC回路のステップ応答

### 定義：伝達関数とインパルス応答

入力 $x(t)$ と出力 $y(t)$ が定数係数の線形微分方程式で結ばれ、初期値がすべて0のとき、$G(s) = \frac{Y(s)}{X(s)}$ を伝達関数という。$G(s)$ の逆変換 $g(t)$ はデルタ関数を入れたときの出力（インパルス応答）で、一般の入力への出力は畳み込み $y(t) = \int_0^t g(\tau)x(t - \tau)\,d\tau$ になる。

### 計算例：RC回路のステップ応答

抵抗 $R$ とコンデンサ $C$ を直列にし、$t = 0$ で電圧 $E$ をかける。コンデンサの電圧 $v(t)$ は $RC\,v' + v = Eu(t)$、$v(0) = 0$ を満たす。伝達関数と $v(t)$ を求めよ。

解答：

初期値0で変換すると $(RCs + 1)V(s) = X(s)$ なので、伝達関数は $G(s) = \frac{1}{RCs + 1}$。入力は $X(s) = \frac{E}{s}$ で

$$V(s) = \frac{E}{s(RCs + 1)} = E\left(\frac{1}{s} - \frac{1}{s + 1/(RC)}\right)$$

よって $v(t) = E\left(1 - e^{-t/(RC)}\right)$（$t \ge 0$）。

検算：

$RC$ の単位は $\Omega\cdot\mathrm{F} = \mathrm{s}$ なので $t/(RC)$ は無次元である。$v(0) = 0$、$t \to \infty$ で $v \to E$ で、最終値定理 $\lim_{s\to 0}sV(s) = E$ と一致する。$t = RC$ で $v = E(1 - e^{-1}) \approx 0.632E$。

## 答案でよくある誤り

1. $\mathcal{L}[y']$ を $sY$ とだけ書き、初期値を落とす。$\mathcal{L}[y'] = sY - y(0)$、$\mathcal{L}[y''] = s^2Y - sy(0) - y'(0)$ で、初期値0の問題以外では項が残る。
2. 極が右半平面や虚軸にあるのに最終値定理を使う。$\mathcal{L}[\sin t] = \frac{1}{s^2 + 1}$ では $\lim_{s\to 0}sF(s) = 0$ だが、$\sin t$ は収束しない。$sF(s)$ の極がすべて $\operatorname{Re}s < 0$ にあることを先に確かめる。
3. 第2推移定理を $f(t)u(t - a)$ に当てはめる。$e^{-as}F(s)$ は $f(t - a)u(t - a)$ の変換である。$f(t)u(t - a)$ は $f(t) = f((t - a) + a)$ と書き直して $e^{-as}\mathcal{L}[f(t + a)]$ にする。
4. 複素数の極を部分分数で無理に分ける。分母を $(s + p)^2 + q^2$ に平方完成し、分子を $(s + p)$ と定数に分けて $e^{-pt}\cos qt$、$e^{-pt}\sin qt$ の形で逆変換する。
5. 収束域を書かずに $\mathcal{L}[e^{at}] = \frac{1}{s - a}$ を使う。この式は $\operatorname{Re}s > a$ で成り立つ。両側の関数や $t < 0$ の値はラプラス変換に入らない。

## ラプラス変換が出た院試の過去問

### [ラプラス変換](https://inshihub.com/exam-themes/laplace-transform)（15大学・62問）

- [九州大学大学院 機械工学 2026年度 第4問](https://inshihub.com/exam-solutions/kyushu-university/graduate-school-of-engineering/mechanical-engineering/2026#problem-4): 数学 第4問（ラプラス変換）
- [九州工業大学大学院 専門科目（知的システム工学） 2026年度 第2問](https://inshihub.com/exam-solutions/kyushu-institute-of-technology/graduate-school-of-computer-science-and-systems-engineering/intelligent-systems-engineering/2026#problem-2): 古典制御
- [北海道大学大学院 応用量子科学系 専門科目 2026年度 第1問](https://inshihub.com/exam-solutions/hokkaido-university/graduate-school-of-engineering/applied-quantum-science-and-engineering/2026#problem-1): 応用数学
- [北海道大学大学院 情報科学専攻 システム情報科学コース 専門科目 2026年度 第2問](https://inshihub.com/exam-solutions/hokkaido-university/graduate-school-of-information-science-and-technology/system-information-science/2026#problem-2): 応用数学II
- [北海道大学大学院 情報科学専攻 情報エレクトロニクスコース 専門科目 2026年度 第9問](https://inshihub.com/exam-solutions/hokkaido-university/graduate-school-of-information-science-and-technology/information-electronics/2026#problem-9): 情報通信工学
- [名古屋大学大学院 複雑系科学 2026年度 第5問](https://inshihub.com/exam-solutions/nagoya-university/graduate-school-of-informatics/complex-systems-science/2026#problem-5): 物3：状態密度別の分配関数と熱容量

解答まで無料で読める演習問題:

- [九州工業大学大学院 専門科目（知的システム工学） 2026年度 第2問](https://inshihub.com/exam-solutions/kyushu-institute-of-technology/graduate-school-of-computer-science-and-systems-engineering/intelligent-systems-engineering/2026#problem-2): 古典制御
- [名古屋工業大学 機械工学プログラム 専門科目 2026年度 第1問](https://inshihub.com/exam-solutions/nagoya-institute-of-technology/graduate-school-of-engineering/mechanical-engineering/2026#problem-1): 制御工学B
- [早稲田大学大学院 機械科学・航空宇宙専攻 専門科目 2026年度 第1問](https://inshihub.com/exam-solutions/waseda-university/graduate-school-of-fundamental-science-and-engineering/mechanical-and-aerospace-engineering/2026#problem-1): 数学：常微分方程式とラプラス変換
- [東北大学大学院 マテリアル・開発系 数学・専門科目 2026年度 第1問](https://inshihub.com/exam-solutions/tohoku-university/graduate-school-of-engineering/materials-science-and-engineering/2026#problem-1): 数学-1：回転行列とラプラス変換

### [伝達関数](https://inshihub.com/exam-themes/transfer-function)（13大学・121問）

- [九州大学大学院 専門科目 2026年度 第3問](https://inshihub.com/exam-solutions/kyushu-university/graduate-school-of-information-science-and-electrical-engineering/electrical-and-electronic-engineering-specialized-subjects/2026#problem-3): 制御工学
- [九州工業大学大学院 専門科目（知的システム工学） 2026年度 第2問](https://inshihub.com/exam-solutions/kyushu-institute-of-technology/graduate-school-of-computer-science-and-systems-engineering/intelligent-systems-engineering/2026#problem-2): 古典制御
- [京都大学 数学・機械力学・専門科目 2026年度 第8問](https://inshihub.com/exam-solutions/kyoto-university/graduate-school-of-engineering/mechanical-engineering-group/2026#problem-8): フィードバック制御と位相進み補償
- [北海道大学大学院 専門科目 2026年度 第3問](https://inshihub.com/exam-solutions/hokkaido-university/graduate-school-of-information-science-and-technology/media-and-network-technologies/2026#problem-3): 信号処理
- [北海道大学大学院 情報科学専攻 システム情報科学コース 専門科目 2026年度 第7問](https://inshihub.com/exam-solutions/hokkaido-university/graduate-school-of-information-science-and-technology/system-information-science/2026#problem-7): 線形制御理論
- [北海道大学大学院 情報科学専攻 情報エレクトロニクスコース 専門科目 2026年度 第9問](https://inshihub.com/exam-solutions/hokkaido-university/graduate-school-of-information-science-and-technology/information-electronics/2026#problem-9): 情報通信工学

解答まで無料で読める演習問題:

- [九州工業大学大学院 専門科目（知的システム工学） 2026年度 第2問](https://inshihub.com/exam-solutions/kyushu-institute-of-technology/graduate-school-of-computer-science-and-systems-engineering/intelligent-systems-engineering/2026#problem-2): 古典制御
- [名古屋工業大学 機械工学プログラム 専門科目 2026年度 第1問](https://inshihub.com/exam-solutions/nagoya-institute-of-technology/graduate-school-of-engineering/mechanical-engineering/2026#problem-1): 制御工学B
- [室蘭工業大学大学院 専門科目 2026年度 第10問](https://inshihub.com/exam-solutions/muroran-institute-of-technology/graduate-school-of-engineering/electrical-and-electronic-engineering/2026-second#problem-10): 演算増幅器：全域通過回路
- [名古屋工業大学 機械工学プログラム 専門科目 2025年度 第1問](https://inshihub.com/exam-solutions/nagoya-institute-of-technology/graduate-school-of-engineering/mechanical-engineering/2025#problem-1): 制御工学