九工大 情報工学府 専門科目（知的システム工学） 2026年度 院試 過去問 解答例・解説（全6問）

問題1

候補A、Bのうち、Aの分母は $$s^2-2s+7=0$$ であり、根の実部が正になる。したがってAは安定でない。一方、Bの分母 $$s^2+2s+7=0$$ の根は $-1\pm j\sqrt{6}$ であり、実部が負なので安定である。十分時間が経過した後の正弦応答を考える対象はBである。

Bで $s=j2$ とおくと $$G(j2)=\frac{4-j2K}{3+j4}.$$ 出力振幅が入力振幅と同じで、位相が $-\pi/2$ だけ遅れるためには $G(j2)=-j$ となればよい。よって $$4-j2K=-j(3+j4)=4-j3$$ から $$K=\frac{3}{2},\qquad \omega=2,\qquad \phi=-\frac{\pi}{2}.$$

問題2

微分方程式をラプラス変換し、初期値を0とすると $$U(s)=(s^2+2s+5)Y(s).$$ したがって伝達関数は $$G(s)=\frac{Y(s)}{U(s)}=\frac{1}{s^2+2s+5}.$$ 単位ステップ入力では $$Y(s)=\frac{1}{s(s^2+2s+5)} =\frac{1}{5}\frac{1}{s} -\frac{1}{5}\frac{s+2}{(s+1)^2+2^2}.$$ これを逆変換すると $$y(t)=\frac{2-e^{-t}\{2\cos 2t+\sin 2t\}}{10}.$$

問題3

開ループ伝達関数は $$L(s)=\frac{K}{s(as+1)(bs+1)}.$$ 位相が $-180^\circ$ になる周波数では $$\arg L(j\omega) =-90^\circ-\tan^{-1}(a\omega)-\tan^{-1}(b\omega)=-180^\circ.$$ したがって $$\tan^{-1}(a\omega)+\tan^{-1}(b\omega)=90^\circ \quad\Longrightarrow\quad ab\omega^2=1.$$ このとき $$|L(j\omega)|=\frac{Kab}{a+b}.$$ よってゲイン余裕は $$20\log_{10}\frac{a+b}{Kab}\ \mathrm{dB}$$ である。

ステップ目標値に対する定常偏差は、積分要素を1個持つため0になる。ただし閉ループが安定でなければ定常値を論じられない。3次特性方程式は $$ab s^3+(a+b)s^2+s+K=0$$ であり、Routhの条件から $$K<\frac{a+b}{ab}$$ が必要である。