室蘭工業大学 工学研究科 専門科目（電気電子工学・共創情報学I系） 2026年度 第2次募集 院試 過去問 解答例・解説（解説11項目）

回転・発散・ラプラシアンは、入力と出力がスカラーかベクトルかを区別すると式を整理できる。回転の発散が消える恒等式は、混合偏微分の交換が許される滑らかな場へ適用する。

一次線形方程式では積分因子で左辺を積の微分にまとめる。振動の初期値問題では位置と勾配から二つの係数を決め、元の方程式と両初期値へ戻して確認する。

行列積は行と列の内積を順に求める。二つの連立系は係数行列と右辺を対応させ、消去で求めた各ベクトルをそれぞれの元の式へ戻して検算する。

鋸歯状波の周期延長では、区間端の点値と左右の極限を分ける。奇対称性で余弦係数を消し、正弦係数を部分積分で求める。跳躍点の級数の和は左右極限の平均になる。

同軸構造の電界は円筒ガウス面で求め、半径方向の積分から電位差と単位長さ容量へ進む。誘電率を変える場合も自由電荷で決まる電束密度を先に固定する。

トロイドの磁束密度は断面内で半径に依存する。一巻きの磁束と全巻数の鎖交を分けて積分し、磁気エネルギーの体積積分とも照合する。

並列RL枝を合成してから、入力インピーダンスを実部と虚部へ分ける。周波数を固定して容量だけを動かす条件が、虚部を零にして電流を最大にできる根拠となる。

RCの充電では最終電圧との差が指数的に減る。放電へ切り替えたら初期電圧を引き継ぎ、切替え後の経過時間を改めて取る。

対称Y結線では中性点の移動を考えず各相の回路へ分けられる。線路と負荷のインピーダンスを加えて電流を求め、負荷端電圧を電圧降下からも確かめる。

(1) 反転側の節点電位

入力抵抗が無限大という理想条件は、入力端子へ電流が吸い込まれないことを意味する。よって二本の抵抗電流だけでKCLを書ける。節点電位は両端電圧の重み付き平均で、近い側の抵抗が小さいほどその端の電位へ近づく。 $R_1=R_2$ なら $v_a=(v_i+v_o)/2$ となる。単に $v_a=0$ と置く仮想接地は、他方の入力が接地されている回路でしか使えず、この回路には適用できない。

(2) 非反転側のRC分圧

入力電流0なのでRCの接続点に追加の負荷電流は流れない。容量側の電圧を取り出すため、低周波では $v_b\to v_i$、高周波では $v_b\to0$ となる低域通過の分圧である。 分子を $\mathrm{j}\omega R_3C$ にすると抵抗側の電圧を求めたことになり、高域通過の式へ変わる。どちらを取り出しているかは、零周波数で容量が開放になる極限から判断できる。

(3) 出力電圧を決める負帰還条件

開ループ利得を $A$ とすると $v_o=A(v_b-v_a)$。飽和せず有限の $v_o$ を保ちながら $A\to\infty$ とする極限で、入力差が0へ近づく。これが二入力電位を等しく置ける理由で、入力電流0とは別の理想条件である。 $\omega=0$ では式は1となり、直流入力が同じ大きさで出る。二入力の差を逆に取って $v_a=-v_b$ とすると、この直流極限さえ崩れる。実際の素子では帯域と出力飽和の範囲内に限る。

重ね合わせの見方では、非反転入力の電位 $v_b$ が閉ループ利得 $1+R_2/R_1$ で出力へ現れ、抵抗 $R_1$ を通じた入力 $v_i$ の反転寄与 $-(R_2/R_1)v_i$ と加わる。二つの経路をまとめたものが上の伝達関数である。RC単体の低域通過出力を増幅するだけでなく、元入力の一部を引く構成が全域通過を作る。 $R_1=R_2$ のときは $v_o=2v_b-v_i$ となる。低周波では $v_b\simeq v_i$ なので $v_o\simeq v_i$、高周波では $v_b\simeq0$ なので $v_o\simeq-v_i$。両極限の倍率が等しく位相が逆転することを、複素式を使わず節点関係からも確かめられる。

(4) 等しい抵抗での振幅比

複素数 $a+\mathrm{j} b$ の絶対値は $\sqrt{a^2+b^2}$ である。共役な二つの複素数は同じ絶対値を持つため、周波数にかかわらず振幅比が1になる。$u=1$ では $H=-\mathrm{j}$ となり、振幅を保ったまま位相だけが $90^\circ$ 遅れる。 分子を実部だけの1とみなすと $|H|=1/\sqrt{1+u^2}$ と誤り、RC単体の振幅特性を全回路へ流用することになる。

(5) 位相差の連続な表示

積と商の偏角はそれぞれ和と差で求める。ただし偏角は $2\pi$ の整数倍の不定性を持つため、ここでは $\omega=0$ で0となる連続な枝を選ぶ。$u=1$ で $-\pi/2$、$u\to\infty$ で $-\pi$ へ近づく。 $\arctan(\operatorname{Im}H/\operatorname{Re}H)$ だけを使うと、実部の符号が変わる $u=1$ の先で象限を取り違えやすい。分子と分母をそれぞれ追う方法なら枝の接続を保てる。

(6) この回路が変える量

全域通過とは、すべての周波数成分に同じ振幅倍率を与えることをいう。信号全体が単に一定時間だけ遅れるためには $\phi=-\omega t_d$ が必要だが、本問の位相は $-2\arctan(\omega R_3C)$ であり一般に直線ではない。 群遅延を計算すると $-\,\mathrm{d}\phi/\,\mathrm{d}\omega=2R_3C/[1+(\omega R_3C)^2]$ となり、周波数に依存する。したがって「振幅が一定だから出力波形はどんな入力でも同じ」とは言えない。複数の周波数成分には異なる位相が付く。

例えば二つの正弦成分を含む入力に対し、各周波数の振幅は保たれるが、位相差はそれぞれ $-2\arctan(\omega_1\tau)$、$-2\arctan(\omega_2\tau)$ になる。両者を同じ時間 $t_d$ だけ遅らせた形にまとめられるのは、その周波数で位相差を $\omega t_d$ と共通に表せる場合に限られる。低周波 $\omega\tau\ll1$ では $\arctan(\omega\tau)\simeq\omega\tau$ なので、狭い帯域内で約 $2\tau$ の遅延として見られる。 一方、高周波まで含む広帯域信号では群遅延が小さくなるので、同じ近似を延長できない。振幅応答だけでなく位相応答を調べる必要を、この回路が具体的に示している。

真理値表では有効入力と使わない符号を区別する。ドントケアをカルノー図の隣接群へ利用し、残った上位ビットだけで有効な数字の判定を保てるか調べる。