室蘭工業大学 工学研究科 専門科目（電気電子工学・共創情報学I系） 2025年度 第2次募集 院試 過去問 解答例・解説（解説11項目）

一次方程式を積分因子で解くと零解を落とさず一般解を得られる。非同次項が同次解と同じ指数なら、指数を取り出して残る関数を積分する。

発散の勾配と回転の回転は定義を成分で追い、二重回転の恒等式でも確認できる。周期積分は変数を分離し、異なる余弦周波数の直交性を使う。

二次行列の特性多項式を因数分解し、各根で零空間を求める。固有ベクトルの非零条件と、固有値との対応を元の行列の積で確かめる。

有限区間の矩形窓を積分し、余弦を掛けた窓は正負二方向の周波数シフトへ分ける。見かけの分母零は元の積分や極限で補う。

二電源の上端電位を同じ基準へ置き、共通節点から外向きの枝電流でKCLを作る。有効電力には実効値電流とインピーダンス実部を用いる。

RL枝の複素電力では電流の共役を取る。並列容量による力率補償は全アドミタンスの虚部を消す条件であり、直列共振の式とは接続が異なる。

初期容量電圧があるRC充電は、最終値と初期値の差を指数項へ入れる。抵抗損失を時間積分し、電源仕事と容量エネルギー差からも確認する。

無限円筒の外部電位は対数で変化するため、無限遠を零には置けない。基準を宣言して電界を求め、自己場を除いた表面平均場から膨張方向の応力を計算する。

(1) ガウス則が定める振動方向

電荷のない真空で $\nabla\cdot(\varepsilon_0\bm E)=0$ が成り立つ。単一平面波では位置に沿う位相変化の方向が $\bm p$ なので、縦方向の電界成分があれば発散が正弦状に振動してしまう。従ってその成分が消える。 一時刻で $\sin\theta=0$ となる点だけを選び、どんな $\bm E_0$ でもよいと結論してはいけない。Maxwell方程式はその点だけでなく全位相で成立する。$\nabla\cos\theta$ の符号は、余弦の微分と位相の空間微分の二つの負号が打ち消す。

(2) 電磁誘導から磁界を求める

$\bm E,\bm H,\bm p$ は右手系を作り、$E/H=\sqrt{\mu_0/\varepsilon_0}=Z_0$ は真空の波動インピーダンスになる。$\bm E\times\bm H$ が $\bm p$ の向きを向くことも、外積の順序の確認となる。 $\bm E_0\times\bm p$ と逆に書くと磁界が反転し、エネルギー流が伝播と逆方向になる。時間積分には静磁界を加える自由もあるが、原題の単一周波数の平面波を求める範囲では零周波数成分を加えない。

(3) 導体面の定在波

反射では進行方向も電界の符号も逆になるので、磁界振幅の向きは入射と同じになる。従って電界は二つの余弦の差、磁界は和となり、積和公式から正弦と余弦の空間分布を得る。 表面 $z=0$ で電界0、磁界振幅が入射の2倍となることを検算できる。また時間因子 $\sin\omega t\cos\omega t$ の平均は0なので、平均エネルギー流はない。

電界の節は $\sin k_0z=0$、磁界の節は $\cos k_0z=0$ の位置にあるため、両者は空間的に四分の一波長ずれる。さらに時間因子も正弦と余弦で四分の一周期ずれている。エネルギーはその場で電界と磁界の蓄積の間を移り、入射と同じ向きへ平均的に流れ続けるものではない。 入射波と反射波の平均Poyntingベクトルを別々に計算しても、等しい大きさで逆方向となって相殺する。場を加えてから時間平均する方法と、進行波ごとの流束を比較する方法の双方で、完全反射の結果を確認できる。反射磁界にも電界と同じ負号を付けると磁界まで表面で0となり、誘導表面電流を支える境界条件を失う。

カスコードは二つの電圧増幅器を単純に掛ける接続ではない。中間節点でコレクタ電流とエミッタ電流を等置し、有限の電流利得を保って二回路の利得比を求める。

演算子の四符号だけを1として全16入力を表にする。等号と消去キーは0指定なのでドントケアにせず、隣接する二群から最小積和式を作る。