室蘭工業大学 工学研究科 専門科目（電気電子工学・共創情報学I系） 2026年度 第1次募集 院試 過去問 解答例・解説（解説11項目）

重根を持つ同次方程式と同じ指数の非同次項には、その指数を取り出す置換が使える。置換後の二階微分を積分し、外側の指数の微分も含めて初期値を合わせる。

単位円上の複素数の累乗では偏角を加える。複素数の逆数は分母へ共役を掛けて実虚に分け、零になる分母の角度を除外する。

上三角行列の特性式は対角成分から読めるが、固有ベクトルまで標準基底になるとは限らない。各固有値で後退代入し、整数成分の指定に合わせて分母を払う。

(1) 勾配と外積の合成

第1基底ベクトルとの外積は $\bm e_x\times(A_x,A_y,A_z)=(0,-A_z,A_y)$ となる。$A_x$ の長い指数・三角関数項は外積へ寄与しないので、そこを微分する必要もない。 $\bm A\times\nabla f$ と順序を逆にすると外積全体の符号が反転する。例えば原点では正しい $\bm F$ の第3成分は $1+1=2$ であり、逆順では0になる。

(2) zについて二階微分

ベクトルの偏微分は成分ごとに定義する。$x,y$ は $z$ 微分では定数であり、二回微分しても成分の方向は変わらない。この演算はラプラシアンではないため、$x,y$ 方向の二階微分を加えない。 $\partial_z^2(x^2z)=2z$ とすると、$x$ と $z$ を混同している。一次関数の二階微分は0という次数の確認が、長い微分式を避ける助けになる。

(3) 発散を作る

発散は成分を全部同じ変数で微分するのではなく、$x$ 成分を $x$、$y$ 成分を $y$、$z$ 成分を $z$ で微分した和である。定数2の微分は0となるが、$-xy^2z$ から $-xy^2$ が残る。 第1項を $2xy$ とすると元の第1成分の $z$ を $y$ に読み替えている。$y=0,x=z=1$ では $\nabla\cdot\bm F=3$ となり、各偏微分 $2,1,0$ の和と一致する。

(4) 単位球の対称性による積分

奇関数の項が消えるのは、球内の点 $(x,y,z)$ と $(-x,y,z)$ または $(x,y,-z)$ が同じ体積で対になるためである。二乗項は符号を変えないので残る。球対称性から $\int x^2=\int y^2=\int z^2$、三者の和が $\int r^2$ となる。 $z^2$ を球面上の定数1とみなすと体積 $4\pi/3$ を答えてしまう。球内部では $r$ も変わり、二乗平均は $1/5$ なので、正しい値は体積の $1/5$ となる。

別法では球面上の流束を用いる。発散定理より $\int_V\nabla\cdot\bm F\,\mathrm{d} V=\int_S\bm F\cdot\bm n\,\mathrm{d} S$。単位球面で $\bm n=(x,y,z)$ なので $$\bm F\cdot\bm n=x^3z+y^2z^2+2z-xy^2z^2.$$ 奇関数項は球面上でも消え、$\int_Sy^2z^2\,\mathrm{d} S=4\pi/15$ が残る。これは球面二次・四次モーメントからも求まり、体積積分と一致する。体積側の二次項が球面側では四次項へ変わる点を区別している。 体積平均 $\langle z^2\rangle=1/5$ と球面平均 $\langle z^2\rangle_S=1/3$ は違う。領域内部を積分するのに球面平均を掛ければ $4\pi/9$ と誤り、表面と体積の区別を失う。

接地された外側導体の電荷は保存されない。自由電荷のガウス則で電束を決めてから各層の誘電率で電界へ直し、三層の電位差を半径方向へ加える。

直線電流はアンペール則、円形電流の軸上はビオ・サバール則で求める。逆向きの二つの円電流はベクトルとして重ね、中心と遠方の極限で方向と減衰を確かめる。

閉路電流の回転方向が異なると、共有枝には電流の和が現れる。原図の矢印を保って行列を立て、電源と電流の比を節点法でも検算する。

矩形パルスへのRC応答は、充電区間と放電区間を電荷の連続条件でつなぐ。後半の指数には、パルス終了からの経過時間を使う。

四端子定数は出力開放と出力短絡を別々に作って取り出す。複素分流比には負号もあり、電流の大きさだけで判断せず最後に行列式と縦続接続で照合する。

追従器への入力電流が零でも、入力電源は容量枝と帰還抵抗枝の両方を駆動する。入力インピーダンスの実虚を分けると、周波数依存の直列抵抗と誘導成分として表せる。

多項式の三つの零点を境に符号を調べ、二出力の真理値表を別々に作る。符号出力だけのドントケアを零点出力へ流用せず、それぞれのカルノー図を簡単化する。